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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 So 16.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Sei X ein [mm] \IR [/mm] VR der Dimension 2 und [mm]f: X \to X[/mm] ein Endomorphismus mit dem charakteristischen Polynom [mm]x^{2}-1[/mm].
(i) Welche Eigenwerte hat [mm]f[/mm]?
(ii) Existiert eine Basis aus Eigenvektoren?
(iii) Bestimme [mm]f^{2}[/mm]
(iv) Beschreibe [mm]f[/mm] geometrisch für den Fall, dass die beiden Eigenvektoren aus (ii) senkrecht aufeinander stehen. |
Hallo,
Ich brauche Hilfe bzw. ein paar Ansätze zu den Aufgaben.
(i) ist klar, -1 und 1
(ii) Mein Ansatz wäre die Diagonalmatrix aufzustellen. Also: [mm]\pmat{-1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]. Jetzt weiß ich aber nicht wie ich daraus die Basis aus Eigenvektoren bestimmen soll.
(iii) [mm]f^{2}[/mm] heißt ja [mm]f \circ f[/mm]. Also [mm]f^{2}:X \to X \to X[/mm]. Aber wie bestimme ich jetzt genau [mm]f^{2}[/mm]?
(iv) hier fehlt mir (ii)
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> Sei X ein [mm]\IR[/mm] VR der Dimension 2 und [mm]f: X \to X[/mm] ein
> Endomorphismus mit dem charakteristischen Polynom [mm]x^{2}-1[/mm].
>
> (i) Welche Eigenwerte hat [mm]f[/mm]?
> (ii) Existiert eine Basis aus Eigenvektoren?
> (iii) Bestimme [mm]f^{2}[/mm]
> (iv) Beschreibe [mm]f[/mm] geometrisch für den Fall, dass die
> beiden Eigenvektoren aus (ii) senkrecht aufeinander
> stehen.
> Hallo,
> Ich brauche Hilfe bzw. ein paar Ansätze zu den Aufgaben.
>
> (i) ist klar, -1 und 1
Hallo,
ja, genau.
>
> (ii) Mein Ansatz wäre die Diagonalmatrix aufzustellen.
> Also: [mm]\pmat{-1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]. Jetzt weiß ich aber nicht
> wie ich daraus die Basis aus Eigenvektoren bestimmen soll.
Das ist auch nicht gefordert. Du sollst doch bloß sagen, ob es eine gibt.
Na, das ist nicht so schwer: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig, und Du hast zwei verschiedene Eigenwerte. Also?
Und bzgl dieser Eigenbasis hat die darstellende Matrix von f die Diagonalgestalt, die Du oben angibst.
>
> (iii) [mm]f^{2}[/mm] heißt ja [mm]f \circ f[/mm]. Also [mm]f^{2}:X \to X \to X[/mm].
> Aber wie bestimme ich jetzt genau [mm]f^{2}[/mm]?
Überleg Dir, welches die darstellende Matrix von [mm] f^2=f\circ [/mm] f ist.
>
> (iv) hier fehlt mir (ii)
Nein.
Du stellst Dir jetzt vor, daß die beiden Eigenvektoren [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] orthogonal sind.
[mm] f(b_1)=-b_1 [/mm] und [mm] f(b_2)=b_2.
[/mm]
Was für eine Abbildung ist das, die die eine Richtung fest läßt und dazu senkrechte Vektoren umklappt?
Gruß v. Angela
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