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| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie:
c) Fur beliebige Mengen ¨ A, B, C gilt:
(A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C). |
Ich wollte fragen ob ich das so richtig versteh:
A und B haben nichts mit C gemeinsam.
Z.B. A beinhaltet alle negativen Zahlen, B beinhaltet alle positiven Zahlen und C beinhaltet 0.
Zu zeigen:
wenn (A und B) nichts mit C gemeinsam haben,
dann (A hat nichts mit C gemeinsam) und (B hat nichts mit C gemeinsam).
So richtig?
Ja und kann ich jetzt einfach (A ∪ B) \ C [mm] \not= [/mm] (A \ C) ∪ (B \ C) wiederlegen um es zu beweisen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 Do 25.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich habe diese neue Aufgabe mal aus der alten Diskussion herausgelöst, das erhöht die Chance, neue Helfer zu finden.
Marius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Do 25.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hast du dir mal ![[]](/images/popup.gif) Venn-Diagramme der Situation auf beiden Seiten gemacht? Meistens hilft das schonmal weiter.
Marius
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Hallo, ich möchte erstmal verstehen wie man das liest.
Ich habe jetzt nochmal die Symbole nachgeguckt und versuche das jetzt in "deutsch" zu übersetzen.
[mm] (A\cup [/mm] B) \ C
heißt:
Die Differenz zwischen (Die Vereinigung von A und B) und der Menge C.
Also stell ich mir jetzt einen Kreis vor, der A und B beinhaltet. Von diesem Kreis nehme ich jetzt C raus.
Wär das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Fr 26.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo, ich möchte erstmal verstehen wie man das liest.
>
> Ich habe jetzt nochmal die Symbole nachgeguckt und versuche
> das jetzt in "deutsch" zu übersetzen.
>
> [mm](A\cup[/mm] B) \ C
> heißt:
> Die Differenz zwischen (Die Vereinigung von A und B) und
> der Menge C.
Das stimmt
>
> Also stell ich mir jetzt einen Kreis vor, der A und B
> beinhaltet. Von diesem Kreis nehme ich jetzt C raus.
Nein, bilde zuerst die Vereinigungsmenge von A und B.
Schneide dann aus dieser Vereinigung die Elemente heraus, die in C liegen.
>
> Wär das so richtig?
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Do 25.06.2015 | | Autor: | Simor |
> Beweisen oder widerlegen Sie:
> c) Fur beliebige Mengen ¨ A, B, C gilt:
> (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C).
>
> Ich wollte fragen ob ich das so richtig versteh:
>
> A und B haben nichts mit C gemeinsam.
> Z.B. A beinhaltet alle negativen Zahlen, B beinhaltet alle
> positiven Zahlen und C beinhaltet 0.
Nein. (A ∪ B) \ C ist dei Menge aller Zahlen, die in a und/oder b, aber nicht in C enthalten sind.
> Zu zeigen:
> wenn (A und B) nichts mit C gemeinsam haben,
> dann (A hat nichts mit C gemeinsam) und (B hat nichts mit
> C gemeinsam).
>
> So richtig?
Folglich ist das auch nicht ganz richtig
> Ja und kann ich jetzt einfach (A ∪ B) \ C [mm]\not=[/mm] (A \ C)
> ∪ (B \ C) wiederlegen um es zu beweisen?
Wäre möglich, ist abr für mich nicht naheliegend...
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Vorraussetzung
A,B,C seien beliebige Mengen.
Behauptung
(A [mm] \cup [/mm] B) \ C=( A \ C ) [mm] \cup [/mm] ( B \ C )
Beweis
a)
x sei Element der linken Seite, daher ist (x [mm] \in [/mm] A UNDODER x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \not\in [/mm] C).
b)
x sei Element der rechten Seite, daher ist ((x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] ( x [mm] \not\in [/mm] C)) UNDODER ((x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] ( x [mm] \not\in [/mm] C))
Daher:
(x [mm] \in [/mm] A UNDODER x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \not\in [/mm] C)
Beide Seiten drücken somit das selbe aus.
So richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Fr 26.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Vorraussetzung
> A,B,C seien beliebige Mengen.
>
> Behauptung
> (A [mm]\cup[/mm] B) \ C=( A \ C ) [mm]\cup[/mm] ( B \ C )
>
> Beweis
> a)
> x sei Element der linken Seite, daher ist (x [mm]\in[/mm] A UNDODER
> x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\not\in[/mm] C).
> b)
> x sei Element der rechten Seite, daher ist ((x [mm]\in[/mm] A)
> [mm]\wedge[/mm] ( x [mm]\not\in[/mm] C)) UNDODER ((x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] ( x
> [mm]\not\in[/mm] C))
> Daher:
> (x [mm]\in[/mm] A UNDODER x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\not\in[/mm] C)
Was soll dieses "undoder"? Das sind fundamentale Unterschiede zwischen "und" bzw. "oder"
>
> Beide Seiten drücken somit das selbe aus.
Das ist so noch nicht offensichtlich, das musst du noch ausführlicher begründen.
Fange am besten "von hinten" an.
[mm]\{x\in(A\setminus C)\cup(B\setminus C)\}[/mm]
[mm]=\{(x\in A\wedge x\notin C)\vee(x\in B\wedge x\notin C)\}[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
>
> So richtig?
Marius
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wenn A und B Schnittmengen haben ist, gehört x ebend entweder zu A, zu B, oder zu A und B.
Das meine ich mit Undoder, und das muss es als logisches zeichen geben imo.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Fr 26.06.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gibt das exclusive oder r=Xor und das einfache oder
exclusiv oder ist sprachlich mit entweder oder zu übesetzen , Entweder gehe ich weg, oder ich bleibe zu Hause
einfach oder heisst etwa jemand bietet dir Obst an du sagst ich mag Birnen oder Äpfel dann magst du auch beide.
das übliche oder ist das inklusive, was du mit undoder bezeichnest.
Gru0 leduart
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:39 Fr 26.06.2015 | | Autor: | sinnlos123 |
Ok, dann habe ich noch eine Frage.
Wenn A,B,C beliebige Mengen sind, dann kann doch C die Vereinigung der Mengen A und B sein richtig?
Dann macht aber das Statement x gehört zu A oder B aber nicht zu C keinen Sinn.
Naja aber mal das außenvor:
[mm] \{x\in(A\setminus C)\cup(B\setminus C)\}
[/mm]
[mm] =\{(x\in A\wedge x\notin C)\vee(x\in B\wedge x\notin C)\}
[/mm]
[mm] =\{(x\in A\vee x\in B)\wedge(x\notin C)\}
[/mm]
was das selbe ist wie die linke Seite, daher ist das "=" richtig. So?
Danke an Leduart für die Begriffserklärung.
Denn umgangssprachlich ist ja eher so: "ich mag Äpfel und Birnen"="ich mag Äpfel, ich mag Birnen und ich mag beides zusammen"
hier nimmt das "und" die Rolle des "undoder" ein.
Ob das jetzt umgangssprachlich ist, oder nur ein sprachlicher Tick von mir, ka., ich kenn's jedenfalls nur so^^
Aber in der Logik ist ein "und" ja wirklich als "exklusives und" zu verstehen, d.h. nur beides zusammen, daher meine Konfusion.
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> Ok, dann habe ich noch eine Frage.
>
> Wenn A,B,C beliebige Mengen sind, dann kann doch C die
> Vereinigung der Mengen A und B sein richtig?
Hallo,
ja:
wenn da steht, daß "eine Aussage" für beliebige Mengen A,B,C gilt,
dann gilt diese Aussage natürlich auch, wenn man speziell [mm] C=A\cup [/mm] B wählt.
>
> Dann macht aber das Statement x gehört zu A oder B aber
> nicht zu C keinen Sinn.
Die zu beweisende Aussage lautet:
für beliebige Mengen A,B,C gilt
(A $ [mm] \cup [/mm] $ B) \ C=( A \ C ) $ [mm] \cup [/mm] $ ( B \ C ).
Wenn jetzt C die Vereinigung von A und B ist,
dann haben wir
[mm] \emptyset=\emptyset, [/mm] und diese Aussage stimmt auf jeden Fall.
Muß leider hier abbrechen, weil ich fort muß.
Evtl. später mehr.
LG Angela
>
> Naja aber mal das außenvor:
>
> [mm]\{x\in(A\setminus C)\cup(B\setminus C)\}[/mm]
> [mm]=\{(x\in A\wedge x\notin C)\vee(x\in B\wedge x\notin C)\}[/mm]
>
> [mm]=\{(x\in A\vee x\in B)\wedge(x\notin C)\}[/mm]
>
> was das selbe ist wie die linke Seite, daher ist das "="
> richtig. So?
>
>
> Danke an Leduart für die Begriffserklärung.
> Denn umgangssprachlich ist ja eher so: "ich mag Äpfel und
> Birnen"="ich mag Äpfel, ich mag Birnen und ich mag beides
> zusammen"
> hier nimmt das "und" die Rolle des "undoder" ein.
> Ob das jetzt umgangssprachlich ist, oder nur ein
> sprachlicher Tick von mir, ka., ich kenn's jedenfalls nur
> so^^
>
> Aber in der Logik ist ein "und" ja wirklich als "exklusives
> und" zu verstehen, d.h. nur beides zusammen, daher meine
> Konfusion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Fr 26.06.2015 | | Autor: | Simor |
> Danke an Leduart für die Begriffserklärung.
> Denn umgangssprachlich ist ja eher so: "ich mag Äpfel und
> Birnen"="ich mag Äpfel, ich mag Birnen und ich mag beides
> zusammen"
> hier nimmt das "und" die Rolle des "undoder" ein.
> Ob das jetzt umgangssprachlich ist, oder nur ein
> sprachlicher Tick von mir, ka., ich kenn's jedenfalls nur
> so^^
>
> Aber in der Logik ist ein "und" ja wirklich als "exklusives
> und" zu verstehen, d.h. nur beides zusammen, daher meine
> Konfusion.
Hier ist es als die "Summe" von A UND B zu verstehen
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eigentlich stimmt das nicht ganz was ich schrieb.
[mm] \{x\in(A\setminus C)\cup(B\setminus C)\}
[/mm]
[mm] =\{(x\in A\wedge x\notin C)\vee(x\in B\wedge x\notin C)\}
[/mm]
ist falsch, denn, x ist nicht unbedingt nicht element von C, wenn man mal nur eine Klammer betrachtet.
Eine Klammer(oben) sagt nur aus, dass x sich in der Menge befindet, die A enthält, aber alle Elemente die in A und C vorkommen, nicht enthält.
Aber wie drückt man das aus? (ohne den " \ " )
Bzw. ist das richtig was ich denk?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Fr 26.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Du verwirrst Dich.
Lies einfach der Reihe nach in der Mengendarstellung:
x ist aus A. (Wenn x nicht aus A ist, dann wird es für alles Weitere nicht betrachtet.
Dabei ist x aber nicht aus C.
Also, wenn es ein irgendwie interessantes x ist, dann ist es nicht aus C.
Kurz: x ist nicht aus C.
> Eine Klammer(oben) sagt nur aus, dass x sich in der Menge befindet,
> die A enthält, aber alle Elemente die in A und C vorkommen, nicht enthält.
Wenn x also aus C ist, kann es nicht in der Menge sein.
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mmh, könnte ich dann ein solches Statement erweitern um z.b.:
x [mm] \in [/mm] (A \ C) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] (B \ C) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] (C \ (A [mm] \cup [/mm] B))
Würde das jetzt kurz bedeuten, dass x Element aller 3 Mengen ist, allerdings nicht Element der Überschneidungen mit C.
D.h. sagen wir mal A={1,2}, B={3,4}, C={2,4,5}
Dann wäre x doch 1,3 oder 5 oder?
Das dies eine sehr merkwürdige schreibweise wäre, ist mir schon klar ;)
"Wenn x also aus C ist, kann es nicht in der Menge sein. "
Ah, ja das stimmt hehe, habe ich nur nicht wirklich bedacht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Fr 26.06.2015 | | Autor: | chrisno |
> mmh, könnte ich dann ein solches Statement erweitern um
> z.b.:
>
> x [mm]\in[/mm] (A \ C) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] (B \ C) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] (C \ (A
> [mm]\cup[/mm] B))
>
> Würde das jetzt kurz bedeuten, dass x Element aller 3
> Mengen ist, allerdings nicht Element der Überschneidungen
> mit C.
> D.h. sagen wir mal A={1,2}, B={3,4}, C={2,4,5}
> Dann wäre x doch 1,3 oder 5 oder?
> Das dies eine sehr merkwürdige schreibweise wäre, ist
> mir schon klar ;)
>
Du springst noch zwischen Umgangssprache und der mathematischen Sprache hin und her. Ich nehme dein
konkretes Beispiel:
erste Menge
x ist aus A, also ist x 1 oder 2.
x ist nicht aus C, damit fliegt die 2 raus,
also kann x bisher nur 1 sein.
zweite Menge
x ist aus B, also 3 oder 4
x ist nicht aus C, damit fliegt die 4 raus,
also kann x hier nur 3 sein.
dritte Menge
x ist aus C, also 2, 4 oder 5.
X ist nicht aus A, damit fliegt die 2 raus,
x ist nicht aus B, damit fliegt die 4 raus.
x kann also nur 5 sein.
Nun alles zusammen: ein x ist in der Menge, wenn es 1 und gleichzeitig 3 und gleichzeitig 5 ist.
So ein x gibt es nicht, also ist die Menge leer.
Die Eigenschaften, die durch und verknüpft sind, müssen gleichzeitig gelten (wahr sein).
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Hallo, habe ich die Venndiagramme der beiden Aussagen richtig dargestellt?
Oder muss ich beim 2. streng genommen 2 virtuelle Mengen erstellen z.b. D und E, die aus A \ C bzw. B \ C bestehen und dann D+E vereint darstellen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wäre das so in Ordnung?
Voraussetzung
A, B, C seien beliebige Mengen.
Behauptung
(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] C = [mm] (A\setminus C)\cup (B\setminus [/mm] C)
Es gilt
[mm] x\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] C [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \notin [/mm] C [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B)
und
[mm] x\in (A\setminus C)\cup (B\setminus [/mm] C) [mm] \Leftrightarrow (x\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin C)\vee(x\in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] C).
Die Behauptung folgt daher aus der Distributivität von [mm] \wedge [/mm] über [mm] \vee [/mm] , d.h. der allgemeinen Äquivalenz von [mm] p\wedge (q\vee [/mm] r) und [mm] (p\wedge [/mm] q) [mm] \vee [/mm] (p [mm] \wedge [/mm] r).
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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| Aufgabe | Beweisen oder Widerlegen Sie:
d) Für beliebige Mengen A, B, C gilt:
(A ∪ B) \ C = A ∪ (B \ C). |
Hi!
Stimmt das auch so?
Voraussetzung
A, B, C seien beliebige Mengen.
Aussage
$(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] C = A [mm] \cup (B\setminus [/mm] C)$
Beweis:
Es gilt
I) $(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus C\Leftrightarrow [/mm] x [mm] \notin [/mm] C [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) $
und
II) $A [mm] \cup (B\setminus C)\Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] C)$
Die Behauptung ist falsch, denn in I) ist $x$ nie [mm] $\in [/mm] C$, in II) kann $x$ aber [mm] $\in [/mm] C$ sein, solange $x [mm] \in [/mm] A$ ist und zum Beispiel [mm] $A\subset [/mm] C $ist.
Beispiel:
A={1}
B={2}
C={1,2}
Hier wollte ich aber noch fragen: kann man mit einer leeren Menge argumentieren? Wenn ja, wie? Habe das nicht wirklich verstanden wie das geht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Sa 27.06.2015 | | Autor: | chrisno |
> Die Behauptung ist falsch, denn in I) ist [mm]x[/mm] nie [mm]\in C[/mm], in
> II) kann [mm]x[/mm] aber [mm]\in C[/mm] sein, solange [mm]x \in A[/mm] ist und zum
> Beispiel [mm]A\subset C [/mm]ist.
das ist der Augangspunkt für Deine Beweisführung.
>
Beweis durch Angabe eines Gegenbeispiels:
> A={1}
> B={2}
> C={1,2}
Nun solltest Du auch noch (A ∪ B) \ C und A ∪ (B \ C) vorrechnen und zeigen dass sie nicht gleich sind.
>
> Hier wollte ich aber noch fragen: kann man mit einer leeren
> Menge argumentieren? Wenn ja, wie? Habe das nicht wirklich
> verstanden wie das geht.
Am besten wäre es, wenn Du ein Beispiel bringst.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Sa 27.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Für mich ist das in Ordnung.
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Meinst du mit "vorrechnen" so?
Voraussetzung
A, B, C seien beliebige Mengen.
Aussage
$ (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] C = A [mm] \cup (B\setminus [/mm] C) $
Beweis:
Es gilt
I) $ (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus C\Leftrightarrow [/mm] x [mm] \notin [/mm] C [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) $
und
II) $ A [mm] \cup (B\setminus C)\Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] C) $
Die Behauptung ist falsch, denn in I) ist $ x $ nie $ [mm] \in [/mm] C $, in II) kann $ x $ aber $ [mm] \in [/mm] C $ sein, solange $ x [mm] \in [/mm] A $ ist und zum Beispiel $ [mm] A\subset [/mm] C $ist.
Beispiel:
A={1}
B={2}
C={1,2}
Bei $x [mm] \notin [/mm] C [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B)$
Ist [mm] x=1\wedge [/mm] x=2, daher x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge \notin [/mm] C
Bei $x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] C)$
Ist x=1, daher x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C
Das Gleichheitszeichen wird sich daher nicht gerecht in $ (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] C = A [mm] \cup (B\setminus [/mm] C) $ .
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Sa 27.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Voraussetzung A, B, C seien beliebige Mengen.
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> Aussage
> [mm](A \cup B) \setminus C = A \cup (B\setminus C)[/mm]
>
Behauptung: Diese Aussage ist falsch.
> Beweis (durch Gegenbeispiel)
> Sei
> A={1}
> B={2}
> C={1,2}
>
Dann ist $A [mm] \cup [/mm] B = [mm] \{1,2\}$ [/mm] und damit $(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] C = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Weiterhin ist [mm] $B\setminus [/mm] C = [mm] \emptyset$ [/mm] und damit $A [mm] \cup (B\setminus [/mm] C) = [mm] \{1\}$
[/mm]
Da [mm] $\{1\}\ne\emptyset$ [/mm] ist obige Aussage falsch.
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