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Forum "Schul-Analysis" - Aufgaben für liz
Aufgaben für liz < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgaben für liz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:21 Mi 29.10.2003
Autor: Marc

Hallo liz,

danke für deine eMail, hier die gewünschten Aufgaben:

Aufgabe 14

Aufgabe 16

Aufgabe 18

Die Lösungen poste bitte -- wie immer -- hier ins Forum.

Viel Erfolg,
Marc


        
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Aufgaben für liz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:59 Fr 31.10.2003
Autor: liz

also nocheinmal das ganze!!!
zu 1a) t:y=x+9
           n:y=-x+5
zu 1b) t:y=1/2x +7
           n:y=-2x+7
zu 1c) t:y=0,99x+6,6
          n:y=-1,0x+6,6

zu 2a) konnte ich nicht wegen [mm] sin^2 [/mm]
zu 2b)B(4/3)   t:y=4/3x +7/3
zu 2c) B(-1/1)   t:y=x+2

zu 3)damit kam ich gar nicht klar,da beim einsetzen von R immer ERROR raus kam!!!also,ich brauch nochmal vom punkt ausgehende tangenten aufgaben und die auflösungen zu meinen!!!danke.liz

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Aufgaben für liz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:40 Sa 01.11.2003
Autor: Marc

Hallo liz und Eva,

sorry für die technischen Schwierigkeiten, war meine Schuld, jetzt müßten die Aufgaben wieder lesbar sein.

Ich habe jetzt leider keiner Zeit, deine Aufgaben zu korrigieren (da ich nicht zu Hause bin), werde das aber heute Abend machen.

Zu 3.) Wo hast du denn R eingesetzt, als ERROR rauskam? Das wäre schon irgendwie nett zu wissen. Das R ist jedenfalls nicht in die Funktionsgleichung einzusetzen...

Bis heute Abend,
Marc


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Aufgaben für liz: 14a
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:17 Sa 01.11.2003
Autor: Marc

Hallo liz,

hmm, welche Aufgaben hast du denn da gerechnet?

Zu 14a) (ist das bei dir 1a?)

Also, der Berührpunkt ist B(-2|2), die erste Ableitung lautet
[mm]f'(x)=\frac{1}{(1+x)^2} [/mm]

Damit lautet die Steigung der Tangente:

[mm]f'(-2) = \frac{1}{(-1)^2} = 1[/mm]

Dieses m und die Koordinaten des Berührpunktes eingesetzt in die allgemeine Geradengleichung [mm] y=m\cdot x + b[/mm] ergibt:

[mm] 2 = 1 \cdot (-2) + b [/mm]
[mm] \Leftrightarrow 2 = 2 + b [/mm]
[mm] \Leftrightarrow b = 0 [/mm]

Die Gleichung der Tangente lautet dann:
[mm] y = x [/mm]

Die Steigung [mm]m_n[/mm] der Normalen ist -- wegen [mm]m_t \cdot m_n = -1 [/mm] -- [mm] m_n=-1 [/mm].

Berührpunkt und [mm]m_n[/mm] eingesetzt ergibt (wie oben):

[mm] 2 = -1\cdot 2 + b [/mm]
[mm] \Leftrightarrow b = 4 [/mm]

Die Gleichung der MBNormale lautet dann:
[mm] y = -x + 4 [/mm]

Jetzt würde mich mal interessieren, was du da gerechnet hast...

Bis gleich zu den anderen Aufgaben,
Marc



Nachricht bearbeitet (So 02.11.03 11:29)

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Aufgaben für liz: zu 14a!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:31 So 02.11.2003
Autor: liz

ich hatte bei 14a) als berührpkt  B(-2/7)
und dann müssten meine ergebnisse eigentlich auch richtig sein!!!

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Aufgaben für liz: zu 14a!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 So 02.11.2003
Autor: Marc

Hallo liz,

> ich hatte bei 14a) als berührpkt  B(-2/7)

Wie kommt man denn da drauf?
Die y-Koordinate -- und ich hoffe, wir sind uns da einig -- erhält man durch Einsetzen der x-Koordinate (hier x=-2) in die Ausgangsfunktion (hier [mm]f(x)=\frac{x}{1+x}[/mm]); ich erhalte da:

[mm]f(-2)=\frac{-2}{1+(-2)}=\frac{-2}{-1}=\frac{2}{1}=2[/mm]

> und dann müssten meine ergebnisse eigentlich auch richtig
> sein!!!

OK, zugegeben, dann wären sie richtig.

(Kann es sein, dass du vielleicht das Fragezeichen in der Aufgabenstellung als 7 missdeutet hast?)

Gruß,
Marc


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Aufgaben für liz: hä das versteh ich jetzt nicht!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:27 So 02.11.2003
Autor: liz

also der berührpkt bei 14a) oder 1a) wie auch immer ist B(-2/7)

f'(x) ist 1[mm] \frac{3}{4} [/mm][mm] (1-2)^2 [/mm]
wenn ich da -2 einsetzte kommt 1 raus...das ist die steigung der tangente!!!
dann lautet n aber doch 9,weil
7=1*(-2)+n
n=n
t:y=x+9
und für die normale lautet die steigung -1 also,
7=(-1)*(-2)+n
n=5
n:y=-x+5

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Aufgaben für liz: hä das versteh ich jetzt nicht!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:16 So 02.11.2003
Autor: Marc

Hallo liz,

wie gesagt, B hat die Koordinaten B(-2|2) und nicht B(-2|7).
Wenn du anderer Meinung bist, rechne es bitte vor.

Gruß,
Marc


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Aufgaben für liz: Re:14b+c
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:06 Sa 01.11.2003
Autor: Marc

Hallo liz,

bitte poste zu Aufgabe 14 auch deine Rechenwege, ich erkenne an Hand deiner Ergebnisse keinen Zusammenhang mit der Aufgabenstellung.

Gruß,
Marc


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Aufgaben für liz: 14b+c
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:55 So 02.11.2003
Autor: liz

b)ja ganz einfach t:y=1/2x +7
  ja dann die normale n:y=-2x +7


c)ableitung von cos (2x)???

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Aufgaben für liz: 14b+c
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:26 So 02.11.2003
Autor: Marc

Hallo liz,

> b)ja ganz einfach t:y=1/2x +7
>   ja dann die normale n:y=-2x +7

Ich kann da keinen Rechenweg erkennen.

> c)ableitung von cos (2x)???

Nach der Kettenregel:
Innere Funktion ist 2x, innere Ableitung dann 2.
Äußere Funktion ist cos(x), äußere Ableitung dann -sin(x).
Kettenregel: Innere Ableitung mal äußere Ableitung:
f'(x) = 2 * (-sin(2x) ) = -2sin(2x)

Gruß,
Marc

PS: Vielleicht ist es doch keine gute Idee, die Aufgaben mit dir über's Internet zu besprechen. Ich weiß zwar, dass ich eine gewisse "Pflicht" habe, dir die Aufgaben zu erklären, weil ich es dir angeboten habe, aber trotzdem kann ich doch erwarten, dass du mir ein wenig entgegen kommst.
Wenn du keinen Rechenweg postest, kann ich dir nicht sagen, wo deine Fehler sind, und es bringt nichts, wenn wir uns gegenseitig unsere Ergebnisse an den Kopf werfen -- das sieht man ja an dem Chaos hier.


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Aufgaben für liz: Aufgabe 16
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Sa 01.11.2003
Autor: Marc

Hallo liz,

> zu 2a) konnte ich nicht wegen [mm] sin^2 [/mm]

[mm] sin^2 [/mm] ist einfach sin(x)*sin(x), also könntest du die Produktregel anwenden.
Geschickter ist aber die Ketenregel mit innerer Funktion sin(x) und äußerer Funktion [mm] x^2. [/mm]

> zu 2b)B(4/3)   t:y=4/3x +7/3

B ist richtig, aber du die Steigung stimmt nicht, sie ist natürlich -4/3, wegen der Parallelität zu g. Der Achsenabschnitt stimmt (dann) auch nicht.

> zu 2c) B(-1/1)   t:y=x+2

Das ist richtig!
Allerdings gibt es noch eine weitere Tangente, da die Gleichung
[mm]f'(x) = 1[/mm] zwei Lösungen besitzt.

Gruß,
Marc


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Aufgaben für liz: zu 2b)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:43 So 02.11.2003
Autor: liz

ja dann lautet die gleichung d. tangente t:y=-4/3x +25/3
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Aufgaben für liz: zu 2b)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 So 02.11.2003
Autor: Marc

Hallo liz,

> ja dann lautet die gleichung d. tangente t:y=-4/3x +25/3

[ok], das stimmt jetzt.

Gruß,
Marc


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Aufgaben für liz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:57 Sa 01.11.2003
Autor: Eva

Hallo Liz,

Deine Lösungen beziehen sich doch auf die Aufgaben, die Marc Dir gegeben hat, oder?
ich würde gerne die Aufgaben nachrechnen, aber leider kann ich, aufgrund irgendwelchen technischen Schwierigkeiten, die Aufgaben nicht lesen!
Ich werde auf jeden Fall versuchen, dass zu klären, damit Du schnellstmöglich eine Antwort auf Deine Frage bekommst!

Tut mir leid,
viele Grüße
Eva

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Aufgaben für liz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:29 Sa 01.11.2003
Autor: Marc

Hallo liz,

nun also zum schwierigsten Aufgabentyp, der Bestimmung einer Tangenten durch einen externen Punkt an einen Graphen.

Die Funktion lautet:

[mm] f(x) = \frac{4x-2}{x^2} [/mm]

Der externe Punkt R(0|0)

Jetzt stelle ich mal eine Formel auf, die mir zu einem beliebigen Punkt P des Graphen von f die Steigung der Geraden durch P und R "liefert".
Die Koordinaten eines beliebigen Punkt des Graphen kann ich schreiben als
P( x | f(x) ) = [mm] P( x | \frac{4x-2}{x^2} ) [/mm]
(das dürfte klar sein, oder?)

Die Steigung lautet dann mit der Steigungsformel:

[mm] m = \frac{f(x)-0}{x-0} = \frac{\frac{4x-2}{x^2}}{x} [/mm] (klicke auf die Formeln, um eine Vergrößerung zu erhalten)
[mm] = \frac{4x-2}{x^3} [/mm]

Von all diesen Geraden, die durch den Punkt R und einen Punkt des Graphen verlaufen suchen wir jetzt diejenigen, die gleichzeitig auch eine Tangente an den Graphen bilden. Das herauszufinden ist recht einfach, denn mit der ersten Ableitung von f bekommen wir die Steigung der Tangente im Punkt P frei Haus geliefert und müssen diese Steigung nur noch mit der Steigung unserer Gerade vergleichen:

(Nebenrechnung: [mm] f'(x) = \frac{4\cdot x^2 - (4x-2)\cdot 2x}{x^4}[/mm]
[mm]= \frac{4x^2 +8x^2+4x}{x^4}[/mm]
[mm]= \frac{12x^2+4x}{x^4}[/mm]
[mm]=\frac{12x+4}{x^3}[/mm])

[mm] f'(x) = \frac{4x-2}{x^3} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{12x+4}{x^3} = \frac{4x-2}{x^3} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow 12x +4 = 4x -2 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow 8x = -6 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow x = -\frac{3}{4} [/mm]

An dieser Stelle stimmen also die Steigung der Tangente und die Steigung der Geraden durch den Berührpunkt und den Punkt R überein, also müssen die Geraden identisch sein!

Jetzt fehlt noch die y-Koordinate und der Steigungswert m, und du kannst die Tangentengleichung aufstellen.

Bitte frage nach, falls etwas unklar geblieben sein sollte, ich erkläre es dann gerne ausführlicher...

Bekommst du nun die anderen Aufgaben selbst hin?

Viel Erfolg,
Marc


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Aufgaben für liz: Musterlösungen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:17 Mo 03.11.2003
Autor: Marc

Hallo liz,

für Aufgabe 14 ist jetzt unter dem anfangs geposteten Link eine Musterlösung verfügbar.
Die Musterlösungen für 16 und 18 folgen Montag.

-Marc.


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