Aufgaben zu Differentiation < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:59 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Ultio |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Aufgabe 1:
(a) Zeigen Sie, dass f(x) := 1/p |x|^p für p > 1 auf ganz R diff.-bar mit Ableitung f'(x) := { |x|^(p-2) * x, x nicht 0 und 0 für x = 0
ist.
Ist f konvex?
(b) Berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion arccos: (-1,1) --> (0,pi) und arcsinh:R-->R!
Aufgabe2:
Bestimmen Sie durch Anwendung von Rechenregeln die ABleitung von...
(a)...x^(x^x)
(b)...arccos (3*x^(-5/2))
(c)...arctan(x^2)
Geben Sie explizit an, in welchen Punkten diese Funktionen definiert sind und in welchen Punkten sie diff.-bar ist!
Aufgabe3:
Ermitteln Sie Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema und Wendestellen der Funktionen
(a) f(x) = (ln(x))/(x)
(b) f(x) = (x^2-1)/(x+2)
Prüfen Sie auch, wo diese Funktionen positiv/negativ, monoton wachsend/fallend, konvex/konkav sind!
Aufgabe 4:
(a)Beweisen Sie die folgende Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes: Sind f,g:[a,b]--> R diff.-bar im offenen Intervall (a,b) und stetig in den Randpunkten a,b und gilt g'(x) nicht 0 für alle x aus (a,b), dann ist g(b) ungleich g(a) und es gibt ein psi aus (a,b) mit
f'(x)/g'(x) = (f(b)-f(a)) / (g(b) - (g(a))).
(b)Nutzen Sie die aus dieser Verallgemeinerung folgende Regel von l'Hospital, um die Grenzwerte lim (x-->0) (sin(x^2) / x) und lim (x von oben -->0) (x^x) zu berechnen. |
Ich versichere, dass ich in keinem anderem Forum diese Frage gestellt habe.
Kann mir mal jemand sagen ob das so wie es hier steht richtig ist? Wenn nicht sagt mir mal bitte was ich ändern muss?
Vielen Dank schon einmal im Vorraus!
mfg Ultio
Lösungsansätze:
Aufgabe1:
(a)
f(x) := 1/p |x|^p für p > 1 --> g(x) = |1/p * x^p| für p > 1
g'(x) = |1/p * p * x^p| = |x^(p-1)|
f'(x) = |x|^(p-2) * x =|x^p|/|x|*x = |x^(p-1)|
daraus folgt f'(x) = g'(x)
Ableitung existiert also ist sie bis auf in dem Punkt 0 diff.-bar, da |x^p|/|x|.
Zudem ist f(x) konvex, da f''(x) und somit auch g''(x)>0 sein muss:
g''(x) = |p * x^(p-2)| >0 (f'(x)=g'(x)--> f''(x)=g''(x))
(b)
(arccos(y))' = 1 /(-sin (arccos(y)))
da (sin(x)^2 + cos(x)^2)^(1/2)=1 --> (1 - cos(x)^2)^(1/2)=sin
also:
(arccos(y))' = 1 /(-sin (arccos(y))) = 1 /(-[(1 - cos(arccos(y))^2)^(1/2)])
= 1/ (-[(1-y^2)^(1/2)])
(arcsinh(y))' = 1 /(cosh (arcsinh(y)))
da (sinh(x)^2 + cosh(x)^2)^(1/2)=1 --> (1 - sinh(x)^2)^(1/2)=cosh
also:
(arcsinh(y))' = 1 /(cosh(arcsinh(y))) = 1 /((1 - sinh(arcsinh(y))^2)^(1/2))
= 1/ ((1-y^2)^(1/2))
Aufgabe 2:
(a)
f(x) = x^(x^x) = e^(x^x * ln(x)) = e ^(e^(x*ln(x)) * ln (x)) definiert auf ganz R
f'(x) = e ^(e^(x*ln(x)) * ln (x)) * ((ln(x)+1) * ln(x) + 1/x * e^(x*ln(x))) = x^(x^x) * (x^x * (ln(x) + 1) * ln(x) + x^(x-1))
(b)
arccos(3*x^(-5/2)) = arccos (y) (auf x>= 0 definiert, x aus R)
(arccos(y))' = siehe Aufgabe 1(b)(i) = 1 / (-[(1 - y^2)^(1/2)])
Frage: kann ich y einfach substituieren (?), denn dann ergibt es da:
(arccos(y))' = 1 / (-[(1 - (3*x^(-5/2))^2)^(1/2)])
Oder muss ich noch mit der inneren Ableitung multiplizieren (Meinung eines Kommilitonen):
(arccos(y))' = - 7,5 x ^(-7/2) * (1 / (-[(1 - (3*x^(-5/2))^2)^(1/2)]))
(c)
arctan(x^2) = arctan(y) (auf ganz R definiert)
(arctan(y))' = 1 / ((tan)'(arctan(y))) = 1 / (1 / (cos(arctan(y))^2))
hier dieselbe Frage wie in (b) =
wenn ich einfach substituiere erhalte ich:
(arctan(y))' = (cos(arctan(y))^2)) = (cos(arctan(x^2))^2))
oder wenn ich mit innerer Ableitung Multipliziere, erhalte ich:
(arctan(y))' = (2*x) / (cos(arctan(y))^2)) = (2*x) / (cos(arctan(x^2))^2))
Aufgabe 4:
(a) Der Mittelwertsatz besagt für f und g mit den genannten Vorraussetzungen:
f'(psi) = (f(b)-f(a)) / (b-a) und
g'(psi) = (g(b)-g(a)) / (b-a)
daraus folgt für
f'(psi) / g'(psi) = [(f(b)-f(a)) / (b-a)] / [(g(b)-g(a)) / (b-a)] = [(f(b)-f(a)) / (b-a)] * [(b-a) / (g(b)-g(a))] = (f(b)-f(a)) / (g(b)-g(a))
q.e.d.
(b)
lim (x-->0) (sin(x^2) / x)
da lim (x--> 0) (sin(x^2)) = 0 und lim(x-->0) x = 0 :
lim (x-->0) (sin(x^2) / x) = lim (x-->0) (2* cos(x^2)) = 1
lim (x von oben -->0) (x^x) = 1
kann mir hier jemand mal weiterhelfen wie ichdas "splitten muss": in e^(x*ln(x))? Und wie bilde ich dann die einzelnen Grenzwerte?
Aufgabe 3:
(b)
g(x) = (x^2-1)/(x+2)
g(x)= (x^2+ 4x + 1)/(x+2)^2
g(x)= (6)/(x+2)^3
g(x)= ( -18)/(x+2)^4
Definitionsbereich: x aus R, x nicht 2
Nullstellen: f(x)= 0
0 = x^2 1 - - > x1 = 1 und x2 = -1
Lokale Extrema: f(x)=0 und f(x) <> 0
0 = x^2 +4x + 1 quadratische Lösungsformel ergibt: x1 = -2 + (3)^(1/2) und x2 = -2 - (3)^(1/2)
f(x1) < 0 - - > lokales Maximum und f(x2) > 0 - - > lokales Minimum
Wendestellen: f(x)=0, f(x) nicht 0
0 = 6 falsche Aussage - - > keine Wendestelle, damit kein Wendepunkt
Positiv: f(x) > 0 : -2<x<=-1 und 1 < x
Negativ: f(x) < 0 : -2>x und 1 > x > -1
Monoton wachsend: f(x)>0: x aus (-unendlich, -2-(3)^(1/2)] und x aus [-2+(3)^(1/2),unendlich)
Monoton fallend: f(x)<0: -2 < x<=-2+(3)^(1/2) und -2-(3)^(1/2) =< x < -2
Konvex: f(x)>0: x > -2
Konkav: f(x)<0: x < -2
(a)
f(x) = ln(x)/x
f(x)= (1-ln(x))/x^2
f(x)= - (2*(ln(x)-3))/x^3
f(x)= (11-ln(x))/x^4
Definitionsbereich: x aus R, x>0
Nullstellen: f(x)= 0
0 = ln(x) - - > 1 = x
Lokale Extrema: f(x)=0 und f(x) <> 0
0 = 1-ln(x)
1 = ln(x) - - > x = e
f(e) = 4/ e^3 > 0 - - > lokales Minimum
Wendestellen: f(x)=0, f(x) nicht 0
0 = -2*(ln(x)-3) = -2ln(x) + 6
3 = ln(x) - - > x = 20,08554
f(20,08554) = (11-3)/20,08554^4 = 0,00005 nicht 0 daher Wendestell x= 20,08554
Positiv: f(x) > 0 : x>1
Negativ: f(x) < 0 : 0<x<1
Monoton wachsend: f(x)>0: x > e
Monoton fallend: f(x)<0: x<e
Konvex: f(x)>0: x > 20,08554
Konkav: f(x)<0: x < 20,08554
Nochmal vorsichtshalber:
Ich habe diese Frage auf keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mfg
Ultio
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Fr 12.12.2008 | | Autor: | reverend |
Du hättest wohl beste Chancen auf eine Antwort, wenn Du
a) diese Anfrage auf mehrere aufteilst,
b) Dich auf Teile beschränkst, bei denen Du Dir unsicher bist
c) und vor allem für eine lesbare Gestalt sorgst.
Der Formeleditor ist ausgezeichnet und sehr leistungsfähig. Über den "Vorschau"-Button unter dem Eingabefeld kannst Du Dir vor dem Absenden anzeigen lassen, was dargestellt werden wird.
Versuch's mal, es ist nicht schwer.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Ultio |
Den Ratschlag werde ich mal verfolgen!
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