Aufgaben zu \IF_8 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mi 15.08.2012 | | Autor: | shadee |
| Aufgabe | | Sei H = [mm] (\IF_8)^*, [/mm] also die Einheitengruppe von [mm] \IF_8. [/mm] Beschreibe H sowieo die Ordnung von H. Gebe an welche Ordnungen die Elemente von H haben können und gebe sie jeweils für die Elemente an. |
Der Aufgabentypus an sich ist leicht. Was mir Schwierigkeiten macht ist die Gruppe H. Ich kann mir unter dieser nichts vorstellen. Wäre es eine Primzahl, so ist das ein Körper und ich kann damit rechnen. Aber hier haben wir eindeutig keinen Körper also gilt auch nicht [mm] \IF_8 \not= \IZ/8\IZ [/mm] (?).
Kann mir einer die Gruppe beschreiben. Mir würde schon eine Beschreibung von [mm] \IF_8 [/mm] reichen. Die zugehörige Einheitengruppe sollte ich dann selbst bestimmen können.
Vielen Dank für jede Hilfe udn beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mi 15.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei H = [mm](\IF_8)^*,[/mm] also die Einheitengruppe von [mm]\IF_8.[/mm]
> Beschreibe H sowieo die Ordnung von H. Gebe an welche
> Ordnungen die Elemente von H haben können und gebe sie
> jeweils für die Elemente an.
> Der Aufgabentypus an sich ist leicht. Was mir
> Schwierigkeiten macht ist die Gruppe H. Ich kann mir unter
> dieser nichts vorstellen. Wäre es eine Primzahl, so ist
> das ein Körper und ich kann damit rechnen. Aber hier haben
> wir eindeutig keinen Körper also gilt auch nicht [mm]\IF_8 \not= \IZ/8\IZ[/mm]
> (?).
>
> Kann mir einer die Gruppe beschreiben. Mir würde schon
> eine Beschreibung von [mm]\IF_8[/mm] reichen. Die zugehörige
> Einheitengruppe sollte ich dann selbst bestimmen können.
Es gilt [mm] $\IF_8 [/mm] = [mm] \IF_2[X]/(X^3+X+1)$ [/mm] (oder auch [mm] $\IF_8 [/mm] = [mm] \IF_2[X]/(X^3+X^2+1)$).
[/mm]
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Mi 15.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
also [mm] \IF_8 [/mm] ist ein endlicher Körper mit [mm] 2^3 [/mm] Elementen. Nach dem Struktursatz für endliche Körper (steht z.B. im Lehrbuch Algebra von Fischer) gilt dann [mm] \IF_{2^3} \cong \IF_2/(X^3+X+1) [/mm] , wobei [mm] x^3+x+1 [/mm] irreduzibel in [mm] \IF_2[x] [/mm] sein muss. [mm] (\IF_2 [/mm] ist ein ein Hauptidealring. Als irreduzibles Element ist das von [mm] x^3+x+1 [/mm] erzeugte Ideal ein Primideal. Jedes Primideal ist ein maximales Ideal. Also ist [mm] \IF_{2^3} \cong \IF_2/(X^3+X+1) [/mm] ein Körper.)
Es gilt, dass die multiplikative Gruppe [mm] K^{*} [/mm] eines Körpers K mit [mm] p^n [/mm] Elementen zyklisch der Ordnung [mm] p^n-1 [/mm] ist. Mit diesem Satz solltest du jetzt die Frage beantworten können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 So 19.08.2012 | | Autor: | shadee |
Ah vielen Dank für eure (schnellen) Antworten. Das hat mir schon mal weiter geholfen und ich konnte die Aufgabe dann schlussendlich lösen. Es ergibt sich aerb eine neue Frage. Ich weiß zum Beispiel auch wie [mm] \IF_9 [/mm] aussieht. Einfach [mm] \IF_3/(f), [/mm] wobei f ein Polynom vom Grad 2 ist, welches irreduzibel in [mm] \IF_3 [/mm] ist. So wie sieht das ganze nun aber für beispielsweise [mm] \IF_{10} [/mm] oder [mm] \IF_{12} [/mm] aus? Gibts da einen Satz oder eine Konstruktionsformel für sowas also für [mm] \IF_n [/mm] mit n nicht prim?
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 So 19.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ah vielen Dank für eure (schnellen) Antworten. Das hat mir
> schon mal weiter geholfen und ich konnte die Aufgabe dann
> schlussendlich lösen. Es ergibt sich aerb eine neue Frage.
> Ich weiß zum Beispiel auch wie [mm]\IF_9[/mm] aussieht. Einfach
> [mm]\IF_3/(f),[/mm] wobei f ein Polynom vom Grad 2 ist, welches
> irreduzibel in [mm]\IF_3[/mm] ist.
Genau.
> So wie sieht das ganze nun aber
> für beispielsweise [mm]\IF_{10}[/mm] oder [mm]\IF_{12}[/mm] aus? Gibts da
> einen Satz oder eine Konstruktionsformel für sowas also
> für [mm]\IF_n[/mm] mit n nicht prim?
Es gibt keine Koerper mit 10 oder 12 Elementen. Es gibt genau dann einen Koerper mit $n <
[mm] \inty$ [/mm] Elementen, wenn $n$ eine Potenz einer Primzahl ist.
LG Felix
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