Aufgaben zu den Pfadregeln < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:17 Di 28.02.2006 | | Autor: | vitaminx |
| Aufgabe 1 | 1)Es sind n Schülerinnen und Schüler im Raum versammelt. Jemand stellt die Geburtstage dieser Personen fest. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei gleiche Geburtstage auftreten?
Aufgabe: Berechne die Wahrscheinlichkeiten zunächst für n=20 und n=30
=> Für welche n liegt die Wahrscheinlichkeit bei 100%?
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| Aufgabe 2 | | 2) In einer Sitzung mit 14 Personen wird ein geheim zu haltender Beschluss gefasst. Jede der 14 Personen hält zwar nich 100%ig, aber jedoch mit der Wahrscheinlichkeit von p % dicht (p nache bei 100). Wie groß muss p mindestens sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass der Beschluss ausgeplaudert wird, 10% nicht übersteigt? |
Zu 1)
Ich habe mir überlegt dass ja 365 Tage ein Jahr sind. Also 365 verschiedene Möglichkeiten existieren einen Geburtstag zu haben. Wie jedoch bekomm ich das im Zusammenhang mit den Schülerzahlen ?
Zu 2)
Leider bin ich bei der Aufgabe zu keinem Ansatz gekommen. Wie kann man denn so eine Aufgabe überhaupt angehen bzw. in verbindung mit den"Pfadregeln" bringen?
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
=>Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo vitaminx,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> 1)Es sind n Schülerinnen und Schüler im Raum versammelt.
> Jemand stellt die Geburtstage dieser Personen fest. Wie
> groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei
> gleiche Geburtstage auftreten?
> Aufgabe: Berechne die Wahrscheinlichkeiten zunächst für
> n=20 und n=30
> => Für welche n liegt die Wahrscheinlichkeit bei 100%?
>
Das ist das sog. ![[]](/images/popup.gif) Geburtstagsproblem, das auch in den letzten Tage hier besprochen wurde. Du kannst danach suchen... (oben rechts ist der Button)
>
>
> Zu 1)
>
> Ich habe mir überlegt dass ja 365 Tage ein Jahr sind. Also
> 365 verschiedene Möglichkeiten existieren einen Geburtstag
> zu haben. Wie jedoch bekomm ich das im Zusammenhang mit den
> Schülerzahlen ?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Schüler, sich einen Geburtstag "auszusuchen"?
Wenn alle an verschiedenen Tagen Geb. haben:
der erste kann unter 365 Tagen "wählen"
der zweite nur noch unter 364, ....
bei n Schülern also 365 * 364 * ... (365-n+1)
Kommst du jetzt allein weiter?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Di 28.02.2006 | | Autor: | vitaminx |
Sorry, ich kann mir das leider noch nicht so genau vorstellen.. und die anderen Aufgaben bzw Wikipedia haben mir noch nicht helfen können.
Also wenn n jetzt 20 ist... muss ich 365*364...*344 rechnen? bzw was sagt mir denn bitte das Ergebnis dann ;)? Ohje....irgendwie versteh ich den Kern des ganzen nun einfach nicht.
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Hi, vitaminx,
> Also wenn n jetzt 20 ist... muss ich 365*364...*344
> rechnen?
Hast Du Dich da nicht verzählt? Ich komm' für n=20 auf 365*364*...*346,
kurz gesagt: [mm] \bruch{365!}{(365-20)!} [/mm] = [mm] \bruch{365!}{345!} \approx 1,037*10^{51}
[/mm]
> was sagt mir denn bitte das Ergebnis dann ;)?
Nun, das Ergebnis besagt, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt, dass alle 20 Leute an VERSCHIEDENEN Tagen Geburtstag haben, nicht zwei, drei, vier oder mehr am gleichen Tag.
Bedenkst Du nun noch, dass es bei 20 Leuten insgesamt [mm] 365^{20} \approx 1,761*10^{51} [/mm] mögliche "Konstellationen" für Geburtstage gibt, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 20 an verschiedenen Tagen Geburtstag haben:
P(versch) = [mm] \bruch{1,037*10^{51}}{1,761*10^{51}} \approx [/mm] 0,59, also etwa 59%.
Das heißt umgekehrt: Die Wahrscheinlichkeit, unter 20 Leuten zwei (oder mehr) zu finden, die am gleichen Tag Geburtstag haben, beträgt 1 - 0,59 = 0,41 = 41%
Darauf würd' ich also lieber nicht wetten!
Aber bei 30 Leuten sieht die analoge Rechnung schon besser aus:
365*364*...*336 = [mm] 2,171*10^{76}
[/mm]
und:
[mm] 365^{30} [/mm] = [mm] 7,392*10^{76}.
[/mm]
Daher beträgt die Wahrsch. dafür, dass alle 30 an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, nur noch 0,294, also 29,4%
Umgekehrt ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben, jetzt 70,6%.
Hier lohnt sich eine Wette allemal!
(Ach ja: Und ab etwa 75 Personen ist eine Wette schon ziemlich unfair, denn die Wahrscheinlichkeit, dass darunter zwei oder mehr Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, ist praktisch 100%)
mfG!
Zwerglein
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