Aufgaben zu komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Sei r(x) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] (1+i)x^2 [/mm] +(2i-3)x +5i -5 und [mm] x_1 [/mm] = i-1
a) Zeigen Sie, dass [mm] x_1 [/mm] eine Nullstelle von r ist.
b) Bestimmen Sie ein Polynom q mit r(x) = q(x) + ( x - [mm] x_1 [/mm] ) für [mm] x\in\IC\sub.
[/mm]
c) Bestimmen Sie alle Lösungen von r(x)=0. |
| Aufgabe 2 | Seien [mm] a,b\in\IR\sub [/mm] und c=a+bi mit a+ [mm] \left| c \right| [/mm] > 0. Sei u= [mm] \pm \wurzel{0,5(a+ \left| c \right| )}, [/mm] sei v= [mm] \bruch{b}{2u} [/mm] und w=u+vi. Zeigen Sie:
[mm] w^2 [/mm] = c |
Zu Aufgabe 1:
a) Hier habe ich [mm] x_1 [/mm] in r(x) eingesetzt und 0 = [mm] i^3 [/mm] + [mm] i^2 [/mm] + i + 1 rausbekommen, was mir irgendwie nicht weiterhilft.
b)+c) Hier habe ich keine Ahnung wie ich ansetzen soll.
Zu Aufgabe 2:
Hier fehlt mir ebenfalls jeglicher ansatz, da ich nie zuvor mit komplexen zahlen gerechnet habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 So 27.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei r(x) = [mm]x^3[/mm] + [mm](1+i)x^2[/mm] +(2i-3)x +5i -5 und [mm]x_1[/mm] = i-1
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]x_1[/mm] eine Nullstelle von r ist.
> b) Bestimmen Sie ein Polynom q mit r(x) = q(x) + ( x - [mm]x_1[/mm]
> ) für [mm]x\in\IC\sub.[/mm]
Ich vermute, es lautet [mm] r(x)=q(x)(x-x_1)
[/mm]
> c) Bestimmen Sie alle Lösungen von r(x)=0.
> Seien [mm]a,b\in\IR\sub[/mm] und c=a+bi mit a+ [mm]\left| c \right|[/mm] >
> 0. Sei u= [mm]\pm \wurzel{0,5(a+ \left| c \right| )},[/mm] sei v=
> [mm]\bruch{b}{2u}[/mm] und w=u+vi. Zeigen Sie:
> [mm]w^2[/mm] = c
> Zu Aufgabe 1:
> a) Hier habe ich [mm]x_1[/mm] in r(x) eingesetzt und 0 = [mm]i^3[/mm] + [mm]i^2[/mm]
> + i + 1 rausbekommen, was mir irgendwie nicht weiterhilft.
Es ist doch [mm] i^2=-1 [/mm] und [mm] i^3=-i
[/mm]
> b)+c) Hier habe ich keine Ahnung wie ich ansetzen soll.
Zu b) Polynomdivision: [mm] r(x):(x-x_1)
[/mm]
Zu c) Eine Lösung der Gl. r(x)=0 hast Du schon: [mm] x_1=i-1.
[/mm]
Die restlichen bekommst Du aus der quadratischen Gleichung q(x)=0
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> Zu Aufgabe 2:
> Hier fehlt mir ebenfalls jeglicher ansatz, da ich nie
> zuvor mit komplexen zahlen gerechnet habe.
Es ist [mm] w^2=u^2+2iuv-v^2. [/mm] Rechne das mal aus. Erhalten solltest Du c=a+ib.
FRED
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Mmmmh, irgendwie klappt das alles nicht ...
Bei 1a) hab ich jetzt -1 raus, da sollte ja aber i-1 rauskommen, das i ist jedoch weggefallen (0=-i+1+i-2)
Bei b) muss ich dann die Polynomdivision von [mm] (x^3 [/mm] + [mm] (1+i)x^2 [/mm] + (2i-3)x + 5i-5)/(x-(i-1)) machen ? ... da scheitere ich schon beim ersten schritt weil ich nichts finde mit dem ich (i-1) mal nehmen kann um 1 zu erhalten
c) kenn ich ohne b) ja nicht machen ....
Bei zwei hab ich in die [mm] w^2 [/mm] formel eingesetzt, ich weis jedoch nicht wie ich diese auflösen kann da ich nicht weis wie ich das [mm] \pm [/mm] (welches durch einsetzen von u ja nun in der formel steht) zu handhaben habe.
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Ich habe mitlerweile Aufgabe 1a) hinbekommen, jetzt fehlt nur noch der Rest ;)
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Hallo, es ist [mm] x_1=i-1 [/mm] einzusetzen
[mm] (i-1)^3+(1+i)*(i-1)^2+(2i-3)*(i-1)+5i-5
[/mm]
[mm] =(i-1)^2*(i-1)+(1+i)*(i-1)^2+(2i-3)*(i-1)+5i-5
[/mm]
=-2i*(i-1)+(1+i)*(-2i)+(2i-3)*(i-1)+5i-5
=2+2i-2i+2-2-2i-3i+3+5i-5
=0
zur Polynomdivision
[mm] [x^3+(1+i)x^2+(2i-3)x+5i-5]:[x-(i-1)]=x^2+2ix-5
[/mm]
[mm] -[x^3-(i-1)x^2]
[/mm]
-----------
[mm] 2ix^2
[/mm]
[mm] -[2ix^2+(2i+2)x]
[/mm]
------------
-5x
-[-5x+5i-5]
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0
Steffi
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Ahhh, super, danke, die c) hab ich dann jetzt auch damit rausbekommen :D
Weis denn jemand wie ich bei der Aufgabe 2 vorgehen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 So 27.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ahhh, super, danke, die c) hab ich dann jetzt auch damit
> rausbekommen :D
> Weis denn jemand wie ich bei der Aufgabe 2 vorgehen muss?
Hab ich Dir doch gesagt !!!
$ [mm] w^2=u^2+2iuv-v^2. [/mm] $
Setze doch u und v ein und schau was passiert.
FRED
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Hab ich ja getan, aber ich weis nicht wie ich das mit dem [mm] \pm [/mm] beim zusammenfassen handhaben soll ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 So 27.04.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Krümel!
Dann führe die Rechnung zwei-mal durch.
Einmal für +, einmal für -.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 So 27.04.2014 | | Autor: | Calculu |
Und nutze aus, dass der Betrag deiner komplexen Zahl die Länge des Zeigers ist. Es gilt also: [mm] |c|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}
[/mm]
Falls du nicht mehr weiter kommst, schreib deine Rechnung hier mal auf, dann kann dir sicher jemand einen Tipp zum weiteren Vorgehen geben!
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