matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesAufgabenblatt 2, Aufgabe 4
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Aufgabenblatt 2, Aufgabe 4
Aufgabenblatt 2, Aufgabe 4 < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Aufgabenblatt 2, Aufgabe 4: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Mo 07.09.2020
Autor: ireallydunnoanything

Aufgabe
Es seien X, Y , Z und T Mengen.

i) Beweisen oder widerlegen Sie die Identit¨at (X ∩ Y ) × Z = (X × Z) ∩ (Y × Z).

ii)  Beweisen Sie, dass aus X × Z ⊂ Y × T und X × Z [mm] \not= [/mm] ∅ folgt, dass X ⊂ Y und Z ⊂ T. (Warum ist die Zusatzbedingung X × Z [mm] \not= [/mm] ∅ n¨otig?)

iii)  Finden Sie eine Formel für (X \ Y ) × Z





zu Aufgabe 4)

Ich finde hier keinen Ansatz und bräuchte Hilfe.

Für eine schnelle Antwort wäre ich sehr dankbar.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Aufgabenblatt 2, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 Mo 07.09.2020
Autor: meili

Hallo ireallydunnoanything,

> Es seien X, Y , Z und T Mengen.
>  
> i) Beweisen oder widerlegen Sie die Identit¨at (X ∩ Y )
> × Z = (X × Z) ∩ (Y × Z).

Wenn einem nichts anderes einfällt, kann man immer mal probieren wie
weit man mit den Definitionen kommt.
Man braucht die Definition des kartesischen Produktes und
die Definition des Schnitts von Mengen.
Wenn man mit deren Hilfe (X ∩ Y )  × Z [mm] $\subset$ [/mm] (X × Z) ∩ (Y × Z) und
(X ∩ Y )  × Z [mm] $\supset$ [/mm] (X × Z) ∩ (Y × Z) gezeigt hat, ist die Identität gezeigt.

>  
> ii)  Beweisen Sie, dass aus X × Z ⊂ Y × T und X × Z
> [mm]\not=[/mm] ∅ folgt, dass X ⊂ Y und Z ⊂ T. (Warum ist die
> Zusatzbedingung X × Z [mm]\not=[/mm] ∅ nötig?)

Beweisidee: Widerspruchsbeweis

>  
> iii)  Finden Sie eine Formel für (X \ Y ) × Z

Wie wäre es mit  (X \ Y ) × Z = (X × Z) \ ( Y × Z)?

>  
>
>
>
> zu Aufgabe 4)
>  
> Ich finde hier keinen Ansatz und bräuchte Hilfe.
>  
> Für eine schnelle Antwort wäre ich sehr dankbar.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß
meili

Bezug
        
Bezug
Aufgabenblatt 2, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:34 Di 08.09.2020
Autor: tobit09

Hallo ireallydunnoanything!


Ergänzend zu meilis Antwort:

Wann immer du eine Teilmengenbeziehung der Form [mm] $M\subseteq [/mm] N$ für gewisse Mengen $M$ und $N$ nachweisen möchtest, bietet sich folgendes Vorgehen an:

Betrachte ein beliebig vorgegebenes Element [mm] $m\in [/mm] M$ (d.h. schreibe: "Sei [mm] $m\in [/mm] M$ beliebig vorgegeben.") und weise nach, dass für dieses Element $m$ zwangsläufig [mm] $m\in [/mm] N$ gelten muss.

Da [mm] $m\in [/mm] M$ beliebig vorgegeben war, hast du damit dann gezeigt: Für ALLE [mm] $m\in [/mm] M$ gilt [mm] $m\in [/mm] N$. Nach Defnition von [mm] $M\subseteq [/mm] N$ hast du damit nachgewiesen, dass $M$ eine Teilmenge von $N$ ist.


> ii)  Beweisen Sie, dass aus X × Z ⊂ Y × T und X × Z
> [mm]\not=[/mm] ∅ folgt, dass X ⊂ Y und Z ⊂ T. (Warum ist die
> Zusatzbedingung X × Z [mm]\not=[/mm] ∅ n¨otig?)

Hier würde ich von einem Widerspruchsbeweis abraten.

Zu zeigen ist, dass unter der Annahme [mm] $X\times Z\subseteq Y\times [/mm] T$ und [mm] $X\times Z\not=\emptyset$ [/mm] gilt: [mm] $X\subseteq [/mm] Y$ und [mm] $Z\subseteq [/mm] T$.

Nehmen wir also im Folgenden die Gültigkeit von [mm] $X\times Z\subseteq Y\times [/mm] T$ und [mm] $X\times Z\not=\emptyset$ [/mm] an.
Zeigen müssen wir nun: [mm] $X\subseteq [/mm] Y$ und [mm] $Z\subseteq [/mm] T$.

Fangen wir mit dem Nachweis von [mm] $X\subseteq [/mm] Y$ an.

Nach der eingangs von mir geschilderten Beweisstrategie für Teilmengenbeziehungen nehmen wir uns dazu ein beliebig vorgegebenes Element [mm] $x\in [/mm] X$ her und wollen [mm] $x\in [/mm] Y$ zeigen.

Jetzt sollten wir irgendwie mal [mm] $X\times Z\subseteq Y\times [/mm] T$ ins Spiel bringen, also die Tatsache, dass für alle [mm] $a\in X\times [/mm] Z$ gilt: [mm] $a\in Y\times [/mm] T$.
Das können wir uns nützlich machen, wenn wir ein Element [mm] $a\in X\times [/mm] Z$ haben, denn dann können wir auf [mm] $a\in Y\times [/mm] T$ schließen. (*)

Wir kennen schon ein Element von $X$, nämlich $x$.
Aber noch haben wir kein Element von $Z$.

Hier kommt uns [mm] $X\times Z\not= \emptyset$ [/mm] zu Hilfe: Es existiert also ein Element [mm] $b\in X\times [/mm] Z$.
Nach Definition des kartesischen Produkts [mm] $X\times [/mm] Z$ existieren somit [mm] $x_0\in [/mm] X$ und [mm] $z_0\in [/mm] Z$ mit [mm] $b=(x_0,z_0)$. [/mm]

Mit [mm] $z_0$ [/mm] haben wir nun ein Element von $Z$.
Betrachte nun das Paar $a$ definiert [mm] $a=(x,z_0)$. [/mm]

Wegen [mm] $(x,z_0)\in X\times [/mm] Z$ (nach Definition des kartesischen Produkts [mm] $X\times [/mm] Z$) und (*) können wir nun auf [mm] $(x,z_0)\in Y\times [/mm] T$ schließen.

Insbesondere erhalten wir (nach Definition des kartesischen Produkts [mm] $Y\times [/mm] T$) wie gewünscht [mm] $x\in [/mm] Y$.

Damit ist [mm] $X\subseteq [/mm] Y$ gezeigt.


Deine Aufgabe ist nun, meinen Beweis kritisch zu prüfen und z.B. "Warum?"-Fragen zu stellen sowie den noch fehlenden Nachweis von [mm] $Z\subseteq [/mm] T$ zu erbringen.

Viel Erfolg! :-)


Viele Grüße
Tobias


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]