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Forum "Algebra" - Aufgabenblatt 9.3
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Aufgabenblatt 9.3: Multiple Choice Aufgaben Bl9
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Sa 16.01.2021
Autor: ireallydunnoanything

Aufgabe 1
Es sei R [mm] \not= [/mm] 0 ein kommutativer Ring. Ist dann {0} immer ein Primideal?

Aufgabe 2
Ist der Ring der Gaußschen Zahlen, Z[i], ein Hauptidealring?

Aufgabe 3
Es sei K ein Körper und R [mm] \not= [/mm] 0 ein beliebiger Ring. Kann ein Ringhomomorphismus f : K [mm] \to [/mm] R dann einen nicht-trivialen Kern haben?

Aufgabe 4
Es seien R und R` zwei nicht-triviale Ringe und f : R [mm] \to [/mm] R` ein Homomorphismus von Ringen. Gilt dann [mm] f^{x} \subset [/mm] R`^{x} ?

Aufgabe 5
Ist der Restklassenring Z[i]=(3 - i) isomorph zu Z=10Z?

Diese Aufgaben sollen nur mit Ja oder Nein beantwortet werden (ohne Beispiele oder Begründungen). Könnte da eventuell jemand drüber schauen und mir sagen, ob ich die richtigen Antworten gegeben habe ? Danke.

1) Nein

2) Ja

3) Ja

4) Nein

5) Nein

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Aufgabenblatt 9.3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:06 Mo 18.01.2021
Autor: statler

Guten Morgen!

Ich nehme die Ringe mal so wie im Buch von Lang, also mit 1 und 1 [mm] $\not=$ [/mm] 0, und dann auch bei Ringhomomorphismen f(1) = 1.

> Es sei R [mm]\not=[/mm] 0 ein kommutativer Ring. Ist dann {0} immer
> ein Primideal?

>  Ist der Ring der Gaußschen Zahlen, Z, ein
> Hauptidealring?

> Es sei K ein Körper und R [mm]\not=[/mm] 0 ein beliebiger Ring.
> Kann ein Ringhomomorphismus f : K [mm]\to[/mm] R dann einen
> nicht-trivialen Kern haben?

> Es seien R und R' zwei nicht-triviale Ringe und f : R [mm]\to[/mm]
> R' ein Homomorphismus von Ringen. Gilt dann [mm]f^{x} \subset[/mm]
> R'^{x} ?

> Ist der Restklassenring Z=(3 - i) isomorph zu Z=10Z?

> 1) Nein
>
> 2) Ja
>
> 3) Ja

Der Kern ist doch ein Ideal, und ein Körper hat nur die trivialen Ideale. Also nein.

>
> 4) Nein

Das habe ich nicht verstanden. Ist [mm] f(R^{x}) \subset [/mm] $R'^{x}$ gemeint? Dann ja.

>
> 5) Nein

Ist [mm] \IZ[i]/(3 [/mm] - i) isomorph zu [mm] \IZ/10\IZ [/mm] gemeint? Dann ja.
Als additive Gruppen sind sie es sowieso, und die Multiplikation ergibt sich daraus.

>

Gruß Dieter

Bezug
                
Bezug
Aufgabenblatt 9.3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Mi 20.01.2021
Autor: ireallydunnoanything

Vielen Dank. Hat mir wie immer sehr weiter geholfen. =)

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