Aufgabenübertragung mit wenn < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | n ist Element der natürlichen Zahlen:
Beweise: Sind 3n+1 und 4n+1 Quadratzahlen, dann ist n durch 56 teilbar. |
Moin die Aufgabe habe ich wie folgt übersetzt.
geg: 3n+1 und 4n+1 sind Quadratzahlen = A
ist n durch 56 Teilbar = B
Lösung:
( A [mm] \to [/mm] b)
Kann und darf man die Aufgabenstellung so verstehen ?
oder muss man den Fall betrachten A [mm] \gdw [/mm] B ?
Danke schon mal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist zu zeigen: A [mm] \Rightarrow [/mm] B.
Weiter nichts
FRED
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zu zeigen ist ( A [mm] \Rightarrow [/mm] B).
( A [mm] \Rightarrow [/mm] B) [mm] \equiv [/mm] ( [mm] \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B)
Nun beweise ich mit dem indirektem Beweis:
[mm] \neg [/mm] ( [mm] \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) = (A [mm] \wedge \neg [/mm] B)
Nun sind 3n+1 und 4n+1 mit n=56 Quadratzahlen. A ist wahr. Nun ist n aber durch 56 teilbar und dies ist ein Wiederspruch zu [mm] \negB. [/mm] Darrausfolgt die Uraussage ( A [mm] \Rightarrow [/mm] B) ist wahr.
Vielen Dank schon mal
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> zu zeigen ist ( A [mm]\Rightarrow[/mm] B).
> ( A [mm]\Rightarrow[/mm] B) [mm]\equiv[/mm] ( [mm]\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B)
> Nun beweise ich mit dem indirektem Beweis:
> [mm]\neg[/mm] ( [mm]\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) = (A [mm]\wedge \neg[/mm] B)
> Nun sind 3n+1 und 4n+1 mit n=56 Quadratzahlen. A ist
> wahr. Nun ist n aber durch 56 teilbar und dies ist ein
> Wiederspruch zu [mm]\neg B.[/mm] Darrausfolgt die Uraussage ( A
> [mm]\Rightarrow[/mm] B) ist wahr.
Hallo,
nein, Du hast nicht die zu beweisenden Aussage gezeigt.
Du hast gezeigt, daß es eine durch 56 teilbare Zahl n gibt so, daß 3n+1 und 4n+1 Quadratzahlen sind.
Zu zeigen ist aber folgendes:
Sämtliche Zahlen n, für welche 3n+1 und 4n+1 Quadratzahlen sind, sind zwangsläufig durch n teilbar,
dh.
Für alle n mit 3n+1 und 4n+1 Quadratzahl folgt: 56 teilt n.
Wenn Du hier einen einen Beweis durch Widerspruch führen möchtest, so nimmst Du an, daß Du eine Zahl n hast, für welche 3n+1 und 4n+1 Quadratzahlen sind, und welche nicht durch 56 teilbar ist. Im Verlaufe des Beweises erzeugt man dann einen Widerspruch, woraus man schließt, daß die Annahme falsch war.
Eine andere Möglichkeit ist der Beweis durch Kontraposition - welcher etwas anderes ist als ein Widerspruchsbeweis. Das ginge hier so:
Du würdest zeigen, daß daraus, daß 56 kein Teiler von n ist, folgt, daß 3n+1 und 4n+1 nicht beide Quadratzahlen sind.
Falls Du das Gewurschtels mit Pfeilen, Buchstaben und Negationen unbedingt brauchst, müßtest Du Dich nochmal melden, damit andere Dir antworten können.
Ich regele sowas mit meinem Hausfrauenverstand.
Gruß v. Angela
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Moin
deine Aussage zu der KONTRAPOSITION kann ich nach vollziehen. Auch die Aussage deiner Widerspruchaussage.
Aber ich wollte keines von beiden machen. Sondern mein Beweis ist indirekter Art.
Dies beruht auf dem logischen Grundbaustein das eine Aussage entweder wahr oder falsch ist. Wir haben die beiden Fälle: 1. A folgt B und 2. A folgt nicht B.
Der zweite fall führt zu einem Wiederspruch, somit muss der 1. fall gelten/wahr sein. (Du darfst nicht vergessen das A (angenommen) wahr ist). Denn wenn das nicht der Fall ist, ist die Gesamtaussage immer wahr. Hier für den Fall das n so gewählt ist , das in der Aussag A also keine Quadratzahlen sind.
Ich hoffe ich verwirre dich nicht.
deine Beiden Aussagen bzw. Beweismethoden würden auch gehen sind nur schwieriger würde ich sagen.
gruß Frank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 20.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Mi 21.01.2009 | | Autor: | spinnefax |
Moin oben habe ich ein lösungsvorschlag gegeben ist der so richtig?
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Hallo spinnefax,
Dein "Beweis" ist falsch. Er beweist nichts, außer dass Deine Logik auf verkehrten Annahmen beruht.
> Dies beruht auf dem logischen Grundbaustein das eine
> Aussage entweder wahr oder falsch ist. Wir haben die
> beiden Fälle: 1. A folgt B und 2. A folgt nicht B.
> Der zweite fall führt zu einem Widerspruch, somit muss
> der 1. fall gelten/wahr sein. (Du darfst nicht vergessen
> das A (angenommen) wahr ist). Denn wenn das nicht der Fall
> ist, ist die Gesamtaussage immer wahr. Hier für den Fall
> das n so gewählt ist , das in der Aussage A also keine
> Quadratzahlen sind.
Das wäre ja geschickt. Es genügt ja ein einziges Gegenbeispiel, um die Allgemeinheit einer Aussage zu widerlegen. Nun nimmst Du also den Fall 2 und ein Beispiel für 1, das ja zugleich Gegenbeispiel zu 2 ist. Also ist 2 falsch und damit 1 richtig.
Mit dieser Beweistechnik kann ich alles zum allgemeinen Satz erheben, für das ich nur ein einziges Beispiel habe. So z.B.: in jedem pythagoräischen Zahlentripel a,b,c mit [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] ist c durch 5 teilbar. Deine logische Transposition würde jetzt lauten: in jedem pythagoräischen Zahlentripel a,b,c mit [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] ist c nicht durch 5 teilbar. Nun gibt es aber a,b,c=3,4,5 - die transponierte Aussage ist falsch, also ist die ursprüngliche Aussage richtig. Beweis fertig.
Leider war die Transposition aber falsch. Sie hätte lauten müssen: nicht in jedem pythagoräischen Zahlentripel a,b,c mit [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] ist c durch 5 teilbar. Die ist richtig und einfach zu beweisen, hier genügt nämlich tatsächlich ein einziges Beispiel: a,b,c=5,12,13. Das hätte allerdings auch schon als Gegenbeispiel zur ursprünglichen Aussage genügt.
Wenn Du das selbst ausprobieren willst, hier eine andere Aussage (die tatsächlich zu beweisen ist): in jedem pythagoräischen Zahlentripel a,b,c mit [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] ist mindestens eine der drei Zahlen durch 5 teilbar.
> Ich hoffe ich verwirre dich nicht.
> deine Beiden Aussagen bzw. Beweismethoden würden auch
> gehen sind nur schwieriger würde ich sagen.
> gruß Frank
Nein, beide sind einfacher. Und logisch richtig.
Du wirst nicht darum herumkommen, den Beweis tatsächlich zahlentheoretisch zu führen. Soweit ich sehe, ist er nicht ganz einfach.
Viel Erfolg!
lg,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Fr 23.01.2009 | | Autor: | spinnefax |
Moin Reverend.
Danke ich habe jetzt meinen Denkfehler gefunden.
Erst zweiflete ich kurz an dem indirekten beweis was durch aus Quatsch ist aber nun ja.
Wenn ich zwei Aussagen haben und ich ich diese über den indirekten Beweis, beweisen möchte muss ich erstmal meine Aussagen typus anschauen.
Ist er allgemeiner Art so muss auch mein Beiweis in allgemeiner Art ausfallen.(zu einem Widerspruch führen).
Danke
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