Auflösbarkeit von Gruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Peti |
Hallo!
Ich hätte eine Frage zum Thema Auflösbarkeit von Gruppen. Wie zeigt man, dass eine Gruppe der Ordnung pqq auflösbar ist, wenn p und q Primzahlen sind, und p ungleich q?
Wie geht man generell bei Beweisen von Auflösbarkeit vor?
Vielen Dank
und liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Di 24.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Peti!
Hilfreich sind hier Sätze der Art:
1) Jede abelsche Gruppe ist auflösbar (trivial).
2) Ist $U [mm] \subset [/mm] G$ ein Normalteiler, dann gilt:
$G$ ist auflösbar [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $U$ und $G/U$ sind auflösbar.
Willst du es damit mal versuchen? 
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Di 24.05.2005 | | Autor: | Peti |
Hallo!
Ich habe mal eine Lösung versucht:
zu zeigen: jede Gruppe G, mit mit Ordnung von G ist pqq, ist auflösbar;(p und q sind Primzahlen)
Beweis:
Die Ordnung von G ist pqq [mm] \Rightarrow \existsU: [/mm] mit Ordnung von U ist qq (q-Sylowuntergruppe)
Es gibt dann entweder eine oder p q-Sylowuntergruppen:
[mm] n_{q} [/mm] =1 (modq) oder [mm] n_{q} [/mm] =p (modq)
1. Fall: [mm] n_{q} [/mm] =1
[mm] \Rightarrow [/mm] U ist Normalteiler vin G: die Ordnung von G modulo U ist p=> zyklisch
Ordnung von U ist qq=> U ist nilpotent
[mm] \existsU1: [/mm] Ordnung von U1 ist q; U1 [mm] \le [/mm] U; U ist maximal
[mm] \Rightarrow [/mm] U1 ist Normalteiler von U; die Ordnung von U modulo U1 ist q=> zyklisch
U1 ist zyklisch, da die Ordnung von U1 gleich q
[mm] \Rightarrow [/mm] U1 auflösbar
[mm] \Rightarrow [/mm] G auflösbar
2.Fall ???
Beim zweiten Fall habe ich überhaupt keine Idee. Stimmt den der Erste? Oder was kann/soll ich daran ändern?
Vielen, vielen Dank
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Hexe |
2. Fall Angenommen es gäbe p q-Sylowgruppen Jede q-Sylow hat in diesem Fall qq Elemente von denen eines das neutrale ist. Dann gibt es (qq-1)p Elemente der Ordnung q oder qq in den Sylowgruppen. Nach Abzug des neutralen elements bleiben also noch p-1 Elemente übrig die von der Ordung p sein können -> die p-Sylowgruppe ist Normalteiler. Der rest des Beweises folgt wie unter 1.
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