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Forum "Funktionen" - Auflösen der Gleichung
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Auflösen der Gleichung: Idee zur Aufgabenlösung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Mo 13.03.2006
Autor: BLADWICH

Aufgabe
Berechne aus der Gleichung x²[y(x)³-y(x)]-3(x²+1)²+6 =0
y(1) und y'(1).
Stelle die Gleichung der Tangente an y = y(x) im Punkt (1,y(1)) auf.

Hi

Ich hab erstmal für x=1 überall eingesetzt und dann soweit umgeformt:

6 = y(x)[ ( y(x) + 1 )( y(x) - 1)]

wie muss ich weiter vorgehen. Wäre schön wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

MFG

(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )

        
Bezug
Auflösen der Gleichung: Probieren+Polynomdivision
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Mo 13.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Bladwich,

[willkommenmr] !!


> 6 = y(x)[ ( y(x) + 1 )( y(x) - 1)]

Leider nutzt Dir diese faktorisierte Form nicht allzuviel ...

$6 \ = \ y*(y+1)*(y-1)$    [mm] $\gdw$ $y^3-y-6 [/mm] \ = \ 0$


Hier musst Du nun durch Probieren (am besten mit den Teilern des Absolutgliedes "$+ \ 6$" beginnen) eine Nullstelle ermitteln.

Anschließend dann die entsprechende MBPolynomdivision durchführen.


Gruß
Loddar

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Bezug
Auflösen der Gleichung: Frage zur Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:00 Mi 15.03.2006
Autor: BLADWICH

Hi

@Loddar: Vielen dank erst einmal für die Antwort und den herzlichen Empfang

Ich hab das ausprobiert mit der Polynomdivision und bin zum Ergebnis

y(1) = 2     gekommen.

Für die Ableitung hab ich mit dem HORNER-schema y'(1) = -4 herausbekommen. Ist das richtig ??

MFG
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Auflösen der Gleichung: habe anderes Ergebnis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 Mi 15.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Bladwich!


> Ich hab das ausprobiert mit der Polynomdivision und bin zum
> Ergebnis y(1) = 2     gekommen.

[daumenhoch]

  
> Für die Ableitung hab ich mit dem HORNER-schema y'(1) = -4
> herausbekommen. Ist das richtig ??

Hier habe ich etwas anderes erhalten. Wie lautet denn Deine Ableitung $y'_$ bzw. die Gleichung nach dem Differenzieren?


Gruß
Loddar

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Auflösen der Gleichung: Keine wirkliche Gleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Mi 15.03.2006
Autor: BLADWICH

Hi Loddar

Hab nicht wirklich eine Gleichung aufgestellt; nur laut Repitiorium mit dem Hornerschema weitergerechnet.

dann kam raus:

1,1,2,-4

was ja eigentlich totaler Unsinn ist, da es kein y² gibt und in der Ableitung dann auch kein y() vorkommen kann.
Kannst du mir vielleicht noch nen Tipp geben mit dem ich dann die Ableitung berechenen kann? Ist es überhaupt möglich eine Gleichung mit dem Wert y(1)=2 aufzustellen??
(Ist implizites Deffernezieren möglich??)

MFG
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Auflösen der Gleichung: implizit ableiten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Mi 15.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Bladwich!


Oh, ich sehe gerade: ein weiterer BauIng-Student [daumenhoch] ! Und dann noch in Hannover meiner (Zwangs-)Zweit-"Heimat" ...


> Kannst du mir vielleicht noch nen Tipp geben mit dem ich
> dann die Ableitung berechenen kann?
> (Ist implizites Deffernezieren möglich??)

Du gibst Dir den Hinweis mit implizertem Differenzieren bereits selbst. [ok]


> Ist es überhaupt möglich eine Gleichung mit dem Wert y(1)=2
> aufzustellen??

Evtl. gibt es die Variante, die Gleichung [mm] $x^2*\left(y^3-y\right)-3*\left(x^2+1\right)^2+6 [/mm] =0$ mittels den []Cardanischen Formeln nach $y \ = \ ...$ umzustellen.

Das kann aber meines Erachtens nicht Sinn dieser Aufgabe sein, so dass der Ansatz durch Einsetzen des x-Wertes $x \ = \ 1$ richtig war.


Gruß
Loddar

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Auflösen der Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:50 Mi 15.03.2006
Autor: BLADWICH

Hi loddar

Kannste du mir vielleicht die Lösung verraten. hab das implizite Differnzieren gerade mal in einer Vorlesung besprochen und es nicht wirklich verstanden. Die aufgabe war ne KLausuraufgabe und da ich mich gerade nochmal auf diese Klausur vorbereite, wäre das echte tofte von dir.

MFG

Bladwich
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Auflösen der Gleichung: Beispiel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:23 Mi 15.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Bladwich!


Ich zeige Dir das mal an einem Beispiel, und Du versuchst es dann mit der gegebenen Funktion?


Beispiel:    [mm] $x*\left(y^2-1\right) [/mm] \ = \ 0$

Zunächst einmal leiten wir wie gehabt ab, müssen dabei jedoch berücksichtigen, dass $y_$ abhängig ist von der Variable $x_$ : $y \ = \ y(x)$ .

Damit müssen wir jedesmal beim Differenzieren von $y_$ die MBKettenregel in Form der inneren Ableitung berücksichtigen.

Bei unserem Beispiel kommt nun auch noch die MBProduktregel zum Tragen mit $u \ := \ x$ und $v \ := \ [mm] y^2-1$ [/mm] .


Damit wird:

$u' \ = \ [mm] \green{1}$ [/mm]

$v' \ = \ [mm] 2*y^1*\red{y'}-0 [/mm] \ = \ [mm] \blue{2*y*y'}$ [/mm]


Einsetzen liefert nun:

[mm] $\green{1}*\left(y^2-1\right)+x*\blue{2*y*y'} [/mm] \ = \ 0$


Nun könnten wir hier entweder gleich auflösen nach $y' \ = \ ...$ oder (wenn komplizierter, wie in unserer eigentlichen Aufgabe) die konkreten Werte [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $y_0 [/mm] \ = \ [mm] y(x_0)$ [/mm] (in unserem Falle: [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ und [mm] $y_0 [/mm] \ = \ 2$) einsetzen.


Nun klar(er) und [lichtaufgegangen] ?


Gruß
Loddar

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Auflösen der Gleichung: Aufgabenlösung ?!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 Do 16.03.2006
Autor: BLADWICH

[lichtaufgegangen]
Hi Loddar
Vielen Dank für das Beispiel. Das implizite Differenzieren ist ja doch nicht so schwer wie ich erst dachte. Vielen Dank für das hilfreiche Beispiel!

Okay nun zur Aufgabenlösung. Bin wie folgt vorgegangen:

2x[y(x)³-y(x)] + x²[3y(x)²*y'(x) - y'(x)] = 12x³ + 12x

dann wie du sagetest die Werte X = 1 und y(1) = 2 eingesetzt:

2[8-2] + 1[12*y'(1)- y'(1)] = 12 + 12

12 + 12y'(1) - y'(1) = 24

y'(1)[12 - 1 ] = 12

y'(1) = 12/11

Für die Tangente kommt dann raus:

y = mx + n

y = 12/11*x + 10/11

Das ist mein Vorschlag zur Lösung der Aufgabe. Ich hoffe das ist richtig ;-)

MFG


Bezug
                                                                        
Bezug
Auflösen der Gleichung: Jawollo!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Do 16.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Bladwich!


Kurz und knapp: [daumenhoch] !!


Gruß
Loddar

Bezug
                                                                                
Bezug
Auflösen der Gleichung: Vielen DANK
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:07 Do 16.03.2006
Autor: BLADWICH

Herzlichen Dank für deine Bemühungen und deine Hilfen.

Echt nen KLASSE Forum!!

MFG an THANKS

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