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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Arkus |
Hallo,
ein Freund von mir hat ein kleines mathematisches Problem:
Wenn man [mm] $(x+y)^2$ [/mm] auflösen möchte, dann gibt es dafür die Formel: $= [mm] x^2+2xy+y^2$
[/mm]
Wenn man [mm] $(x+y)^3$ [/mm] auflösen möchte, gibts dafür auch so'ne Formel die sich aus dem Pascalschen Dreieck ableitet.
Diese verrät einem die Faktoren von [mm] $x^3$ [/mm] $x^2y$ $y^2x$ und [mm] $y^3$
[/mm]
Nun sein Problem:
Er sucht auch so eine geschlossene Formel zum lösen von allgemein so aussehenden Produkten
1.) [mm] $(x+y)^2$ [/mm] einfach, kennen wir
2.) [mm] $(x+y+z)^3$ [/mm] da gibts auch was
3.) [mm] $(x+y+z+a)^4$
[/mm]
4.) ....
5.) [mm] $(x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + .... + [mm] x_n)^n$
[/mm]
Zudem gibt es immer soviele Komponenten wie der Exponent n. Ansonst wäre es ja mithilfe von Potenzen von Binomen lösbar, aber leider ist es das nicht ganz.
Er sucht nun eine Formel, die einem zu 5.) die Vorfaktoren verrät und vermutet es hat etwas mit der Hypergeometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung zu tun.
Hab die Frage nirgendwo anders gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 So 18.12.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
ich glaub, dass was du meinst sind die multinomischen Formeln. Hierzu bedient man sich sogenannter Multinomialkoeffizienten. Ich definiere diese mal folgendermaßen.
[mm] [n;k_1, k_2, [/mm] ..., [mm] k_n] [/mm] := [mm] \bruch{n!}{k_1!*k_2!*...*k_n!} [/mm] heiße Multinomialkoeffizient.
Damit kannst du dann deine Ausdrücke berechnen.
Beispiel:
Betrachte den Term [mm] (x+y+z)^9.
[/mm]
Zuerst ermittelst du alle Ausdrücke der Form
[mm] x^a [/mm] * [mm] y^b [/mm] * [mm] z^c [/mm] mit a+b+c=9
Multipliziere sie mit dem Multinomialkoeffizienten
[9;a,b,c] und bildest die Summe, also
[mm] (x+y+z)^9 [/mm] = [mm] \summe_{a+b+c=9} [9;a,b,c]*x^a*y^b*z^c
[/mm]
Ich hoffe das war jetzt so richtig,
dies sollte dir dann weiterhelfen die übrigen Formeln zu erschließen.
Noch ein Beispiel:
[mm] (x+y)^2 [/mm] kann man hier mit auch berechenen, denn
[mm] \summe_{a+b=2} [2,a,b]*x^a*y^b [/mm] = [mm] [2,1,1]*x*y+[2,2,0]*x^2*y^0 [/mm] + [mm] [2,0,2]*x^0*y^2
[/mm]
[mm] =2*x*y+x^2+y^2
[/mm]
mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 So 18.12.2005 | | Autor: | Arkus |
Hmmm ...
ich hatte aber noch angemerkt, dass immer soviele Komponenten in der Klammer sind, wie der Exponent n groß ist.
Demnach müsste es nicht:
$ [mm] (x+y+z)^9$
[/mm]
sondern z.B.
[mm] $(a+b+c+d+e+f+g+h+i)^9$ [/mm] heißen.
Würde das etwas an deiner Antwort ändern?
Ich kann dir leider nicht sagen, ob es mir hilft, da es ja wie gesagt für einen Freund ist. Ich werd ihn auf jeden Fall mal fragen, ob es das ist, was er sucht.
Aber trotzdem schon mal Danke!
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Hallo Arkus,
> Hmmm ...
>
> ich hatte aber noch angemerkt, dass immer soviele
> Komponenten in der Klammer sind, wie der Exponent n groß
> ist.
>
> Demnach müsste es nicht:
>
> [mm](x+y+z)^9[/mm]
>
> sondern z.B.
>
> [mm](a+b+c+d+e+f+g+h+i)^9[/mm] heißen.
>
> Würde das etwas an deiner Antwort ändern?
das ändert nichts an der Antwort von Pollux.
Es gilt also:
[mm]
\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {x_i } } \right)^n \; = \;\sum\limits_{k_1 \; + \; \cdots \; + \;k_m \; = \;n} {\frac{{n!}}
{{k_1 !\; \cdots \;k_m !}}\;x_1^{k_1 } \; \cdots \;x_m^{k_m } } [/mm]
>
> Ich kann dir leider nicht sagen, ob es mir hilft, da es ja
> wie gesagt für einen Freund ist. Ich werd ihn auf jeden
> Fall mal fragen, ob es das ist, was er sucht.
>
> Aber trotzdem schon mal Danke!
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 So 18.12.2005 | | Autor: | Arkus |
Gut, das freut mich, dann bedanke ich mich nochmal recht herzlich! ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Fr 23.12.2005 | | Autor: | Arkus |
Hi
hab da doch nochmal ne Frage:
Wie rechne ich denn z.B. den Ausdruck $[2,1,1] [mm] \cdot [/mm] x [mm] \cdot [/mm] y$ aus? Es ist ja keine normale Klammer, sonst würde da kein Komma stehen.
Der Multinominalkoffizient ist hier $a+b=2$ für a und b setze ich jeweils alle Möglichkeiten ein um auf 2 zu kommen, also
$2+0=2$
$1+1=2$
$0+2=2$
Im Prinzip suche ich alle Lösungen für a und b, die die Gleichung $a+b=2$ erfüllen. Nun aber wie sieht es mit wesentlich mehr Variablen aus. Wie kann ich da die Lösungen berechnen, ohne mir das im Kopf überlegen zu müssen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
ich glaube du hast die Berechnung der Multinomialkoeff. nicht ganz verstanden. Hier sucht man nicht nach der Lösung von Gleichungssystemen, sondern berechnet ihn einfach wie oben angegeben.
z.B.
[2;1,1] = 2!/(1!*1!)
[5;1,2,3,4] = 5!/(1!*2!*3!*4!)
[mm] [n;k_1,k_2,...,k_i] [/mm] = [mm] n!(k_1! [/mm] * [mm] k_2! [/mm] * ... * [mm] k_i!)
[/mm]
Ich hoffe die Berechnung ist jetzt klarer geworden. Die Formeln der Art
[mm] (a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + ... + [mm] a_n)^i [/mm] kannst du wie oben auswerten. Dabei kannst du die Summe innen und den Exponenten i gestalten, wie du möchtest.
(Die Summanden und der Exponent sollten übrigens aus den natürlichen Zahlen stammen!)
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Arkus |
Achsoooooo :-D
die Klammer hatte mich ein wenig irritiert, aber jetzt habe ich es verstanden, wie das gemeint war! Danke! ^^
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