Auflösen von Kreuzprodukten < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Fr 02.01.2009 | | Autor: | jrgen |
ich muss bei einer aufgabe zeigen, dass
[(b+c-p) [mm] \times [/mm] a] [mm] \times [/mm] [(a+c-p) [mm] \times [/mm] b] [mm] \circ [/mm] [(a+b-p) [mm] \times [/mm] c]
gleich 0 null ist
a,b,c,p seien Vektoren des [mm] \IR^3
[/mm]
wenn ich alles umständlich ausmultipliziere komme ich schon auf 0
aber das muss doch auch einfacher gehen
ich dachte da an eine determinante
also wenn ich die drei eckigen Klammern als r,s,t auffasse,
dass dann die 3 Vektoren linear abhängig sind, oder det(r,s,t)=0
wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen kann
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo jrgen!
Bitte poste auch mal die vollständige Aufgabenstellung, so dass wir alle auf gleichem Wissensstand sind.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Fr 02.01.2009 | | Autor: | jrgen |
Es geht um die dritte Aufgabe des BWM 2009:
Ein Punkt P im Innern des Dreiecks ABC wird an den Mittelpunkt der Seiten BC, CA und AB gespiegelt; die Bildpunkte werden mit Pa, Pb und Pc bezeichnet.
Beweise, dass sich die Geraden PaA, PbB und PcC in einem gemeinsame Punkt schneiden!
Die Aufgabe habe ich schon gelöst.
Ich wollte für meine Facharbeit noch eine zweite Lösung, mittels projektiver Geometrie geben.
Dabei komm ich auf die obige Gleichung, die auch 0 ergibt, jedoch recht umständlich.
Ich kenn mich aber auch nicht so gut mit Rechenregeln für Kreuz und Skalarprodukt aus. Aber ich dachte es gibt vl einen eleganten weg.
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Hallo!
Das Vektorprodukt ist distributiv:
[mm] $(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] c + [mm] \vec [/mm] b [mm] \times \vec [/mm] c$
und antikommutativ:
[mm] $\vec [/mm] a [mm] \times \vec b=\red{-}\vec [/mm] b [mm] \times \vec [/mm] a$
Damit solltest du zunächst die Klammern auflösen.
Weiterhin hilft dir vermutlich
[mm] $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) [/mm] = [mm] \vec{b}\,(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}\,(\vec{a}\cdot\vec{b})$
[/mm]
Es gibt noch ne ganze Reihe solcher Identitäten, am besten suchst du wohl mal nach Kreuzprodukt, Vektorprodukt, Vektoralgebra etc.
Ich denke, auf dem Wege kommst du zu einem eleganteren Lösungsweg, als alles auszuXen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Fr 02.01.2009 | | Autor: | jrgen |
ja ich denke so siehts wohl ganz ordentlich aus
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Fr 02.01.2009 | | Autor: | weduwe |
ich würde es eher mit einer geeigneten affinen abbildung lösen, da ist das problem in ein paar zeilen erledigt.
aber ist das nicht eine aktuelle olympiade -aufgabe?
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Hallo!
Das ist Bundeswettbewerb Mathematik, schreibt er ja auch selber.
Daher würde ich jetzt auch keine (alternativen) Lösungen zeigen, andererseits habe ich jetzt auch keine weltbewegenden Weisheiten bekannt gegeben 
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