Auflösungsfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man betrachte folgende Gleichung:
xyz = 2Cosh(x+y+z)
Frage: Existiert in der Nähe des Punktes (-1,-1,2) eine Auflösungsfunktion, überprüfe diese auf 2x Diffbarkeit. |
So ich baue also meine Funktion:
g(x,y,z) = xyz - 2Cosh(x+y+z)
g(-1,-1,2) = 0
hinreichend für Existenz einer Auflösungsfunktion z = f(x,y) ist ja:
[mm]det(\frac{dg}{dz})\neq0[/mm]
nun das ist im Punkt (-1,-1,2) erfüllt es ist [mm]det(\frac{dg}{dz})(-1,-1,2)=1[/mm] somit: [mm]\exists[/mm] z = f(x,y)
Nun meine Frage:
Um diese auf zweimalige Diffbarkeit zu prüfen genügt es :
[mm]\frac{df}{d(x,y)}=(0,0)[/mm] zu zeigen?
Dies würde sich rasch berechnen lassen beispielsweise durch [mm]\frac({dg}{dz})^{-1}[/mm] * [mm](\frac{dg}{dx},\frac{dg}{dy})[/mm] und dann den entsprechenden Punkt einsetzen
Lg und Dank Thomas
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=518385
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Do 04.04.2013 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
ich kenne die Schreibweise $ \frac{df}{d(x,y) $ nicht, aber wieso soll die Ableitung 0 sein?, der erste Teil ist richtig.
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:15 Do 04.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Zur zweimaligen Differenzierbarkeit:
Du hattest
g(x,y,z) = xyz - 2Cosh(x+y+z) .
g ist auf [mm] \IR^3 [/mm] zweifelsohne beliebig oft stetig differenzierbar.
Der Satz über implizit def. Funktionen sagt nun, dass f in einer Umgebung U des Punktes (-1,-1) ebenfalls beliebig oft stetig differenzierbar ist.
FRED
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Vielen Dank für die Rückmeldungen,
Prinzipiell kenne ich ja die implizite Funktion z = f(x,y) nicht explizit , kann ich aus der stetigen Diffbarkeit von g sofort die stetige Diffbarkeit von f aus dem Satz schließen.
1) g(x,y,z) = 0 erfüllt
2) g an (-1,-1,2) stetig diffbar auch
3) es existiert eine Funktion z = f(x,y) in Umgebung von (-1,-1,2)
ja stimmt der Satz sagt nun dass z = f(x,y) in der Nähe von (-1,-1) nun auch stetig diffbar sein muss.
Also meine Aufgabenstellung lautet auf zweimalige Diffbarkeit zu prüfen - könnte ich ,um diese nachzuweisen, (ohne mich auf den Satz zu berufen) das durch implizites differenzieren?
Gruß
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Do 04.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Rückmeldungen,
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> Prinzipiell kenne ich ja die implizite Funktion z = f(x,y)
> nicht explizit , kann ich aus der stetigen Diffbarkeit von
> g sofort die stetige Diffbarkeit von f aus dem Satz
> schließen.
>
> 1) g(x,y,z) = 0 erfüllt
> 2) g an (-1,-1,2) stetig diffbar auch
> 3) es existiert eine Funktion z = f(x,y) in Umgebung von
> (-1,-1,2)
>
> ja stimmt der Satz sagt nun dass z = f(x,y) in der Nähe
> von (-1,-1) nun auch stetig diffbar sein muss.
>
> Also meine Aufgabenstellung lautet auf zweimalige
> Diffbarkeit zu prüfen - könnte ich ,um diese
> nachzuweisen, (ohne mich auf den Satz zu berufen) das durch
> implizites differenzieren?
Ja, das kannst Du.
Durch implizite Differentiation berechne [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y. [/mm] Dann siehst Du, dass diese Funktionen in der Nähe von (-1,-1) wieder partiell differenzierbar sind.
Weiter sieht man, dass alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2 stetig sind ( in der Nähe von (-1,-1))
FRED
>
> Gruß
>
> Thomas
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Gut also hier mein endgültiger Lösungsvorschlag:
Wir betrachten xyz = 2Cosh(x+y+z)
g(x,y,z) = xyz-2Cosh(x+y+z)
g(-1,-1,2) = 0
Behauptung 1: [mm]\exists[/mm] eine Funktion z=f(x,y) in der Umgebung des Punktes (-1,-1,2)
Bw:
[mm]\frac{dg}{dz}=xy-2Sinh(x+y+z)[/mm]
[mm]det(\frac{dg}{dz})(-1,-1,2)=1\neq0[/mm]Dies ist eine hinreichende Bedingung für die Existenz der Funktion z = f(x,y)[mm]\Rightarrow\exists[/mm] z=f(x,y).
Beh. 2: z=f(x,y) ist mind. 2x diffbar
Bw:
Wir wollen die erste Ableitung z' betrachten. Entweder durch implizites differenzieren oder durch [mm]\frac{dg}{dz}^{-1}*(\frac{dg}{dx},\frac{dg}{dy})[/mm]
es ist also [mm]\frac{df}{dx,dy}=[/mm]-[mm](\frac{yz-2Sinh(x+y+z)}{xy-2Sinh(x+y+z)},\frac{xz-2Sinh(x+y+z)}{xy-2Sinh(x+y+z)})[/mm]
mit Einsetzen von (-1,-1,2) erhalten wir somit: (2,2)
Wir sehen also dass die Auflösungsfunktion 1x in allen Komponenten stetig diffbar ist in der Umgebung des Punktes.
Ich differenziere z' implizit nach x und y und erlange somit z'' in x und y Komponente:
[mm]z''_x=-(\frac{(xy-2Sinh(x+y+z)*(z'y-2Cosh(x+y+z))}{(xy-2Sinh(x+y+z)^2},\frac{(z+xz'-2Cosh(x+y+z))*(xy-2Sinh(x+y+z))}{(xy-2Sinh(x+y+z)^2}[/mm]
identes Vorgehen für z''nach y...
wir sehen also dass die Funktion z'' wieder stetig diffbar in diesem Punkt ist.
Meinst du wäre die Argumentation so prüfungsreif und ausreichendß
Gruß
Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Gut also hier mein endgültiger Lösungsvorschlag:
>
> Wir betrachten xyz = 2Cosh(x+y+z)
>
> g(x,y,z) = xyz-2Cosh(x+y+z)
> g(-1,-1,2) = 0
>
> Behauptung 1: [mm]\exists[/mm] eine Funktion z=f(x,y) in der
> Umgebung des Punktes (-1,-1,2)
>
> Bw:
>
> [mm]\frac{dg}{dz}=xy-2Sinh(x+y+z)[/mm]
> [mm]det(\frac{dg}{dz})(-1,-1,2)=1\neq0[/mm]Dies ist eine
> hinreichende Bedingung für die Existenz der Funktion z =
> f(x,y)[mm]\Rightarrow\exists[/mm] z=f(x,y).
>
> Beh. 2: z=f(x,y) ist mind. 2x diffbar
>
> Bw:
>
> Wir wollen die erste Ableitung z' betrachten. Entweder
> durch implizites differenzieren oder durch
> [mm]\frac{dg}{dz}^{-1}*(\frac{dg}{dx},\frac{dg}{dy})[/mm]
>
> es ist also
> [mm]\frac{df}{dx,dy}=[/mm]-[mm](\frac{yz-2Sinh(x+y+z)}{xy-2Sinh(x+y+z)},\frac{xz-2Sinh(x+y+z)}{xy-2Sinh(x+y+z)})[/mm]
> mit Einsetzen von (-1,-1,2) erhalten wir somit: (2,2)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wir sehen also dass die Auflösungsfunktion 1x in allen
> Komponenten stetig diffbar ist in der Umgebung des
> Punktes.
>
>
> Ich differenziere z' implizit nach x und y und erlange
> somit z'' in x und y Komponente:
>
> [mm]z''_x=-(\frac{(xy-2Sinh(x+y+z)*(z'y-2Cosh(x+y+z))}{(xy-2Sinh(x+y+z)^2},\frac{(z+xz'-2Cosh(x+y+z))*(xy-2Sinh(x+y+z))}{(xy-2Sinh(x+y+z)^2}[/mm]
>
Das stimmt leider nicht.
> identes Vorgehen für z''nach y...
>
> wir sehen also dass die Funktion z'' wieder stetig diffbar
> in diesem Punkt ist.
>
> Meinst du wäre die Argumentation so prüfungsreif und
> ausreichendß
>
> Gruß
>
> Thomas
Gruss
MathePower
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Danke Mathepower.
Ist die Idee falsch um 2malige Diffbarkeit von z = f(x,y) zu zeigen oder hab ich mich einfach beim impliziten Ableiten vertan?
falls die Idee falsch sein sollte - wie wäre es dann richtig?
lg thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Danke Mathepower.
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> Ist die Idee falsch um 2malige Diffbarkeit von z = f(x,y)
> zu zeigen oder hab ich mich einfach beim impliziten
> Ableiten vertan?
>
Du hast Dich beim impliziten Ableiten vertan.
> falls die Idee falsch sein sollte - wie wäre es dann
> richtig?
>
> lg thomas
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Do 04.04.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Danke Mathepower.
Ist die Idee falsch um 2malige Diffbarkeit von z = f(x,y) zu zeigen oder hab ich mich einfach beim impliziten Ableiten vertan?
falls die Idee falsch sein sollte - wie wäre es dann richtig?
lg thomas
Ok das ist eh kein Problem das rechne ich einfach nochmal nach :)
danke!
lg
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