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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:56 Fr 16.07.2010 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich möchte eine Aufgabe lösen, bei der eine Ebenengleichung aufzustellen ist. Es ist bekannt, dass die Ebene die Punkte A(1/3/4) und B(-4/5/9) enthält.
Im Punkt B sei nun ein kleines Loch. Eine Kugel, die im Punkt A startet, rollt auf der Ebene nun in Richtung des Loches in B. Der Schwerkraftvektor sei
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Meine Frage ist nun, wie ich mit diesen Infos eine Ebenengleichung aufstellen kann.
Mit Hilfe von A und B könnte beim Aufstellen mit einer Parameterform die Koordinaten von A als Ortsvektor genutzt werden und ein Richtungsvektor [mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{-5 \\ 2 \\ 5} [/mm] aufgestellt werden.
Ich habe mir nun überlegt, dass die Kugel in Richtung des steilsten Abstieges rollt und das hat doch irgendetwas mit dem negativen Gradienten zu tun. Muss ich mir die Ebenengleichung dann in Koordinatenform als z = ax + by vorstellen und wäre dann a = -5 und b = 2 (die ersten beiden Einträge des Richtungsvektors ?)
Danke schon im voraus für eure Hinweise.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
Rubi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Fr 16.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen,
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> ich möchte eine Aufgabe lösen, bei der eine
> Ebenengleichung aufzustellen ist. Es ist bekannt, dass die
> Ebene die Punkte A(1/3/4) und B(-4/5/9) enthält.
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> Im Punkt B sei nun ein kleines Loch. Eine Kugel, die im
> Punkt A startet, rollt auf der Ebene nun in Richtung des
> Loches in B. Der Schwerkraftvektor sei
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
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> Meine Frage ist nun, wie ich mit diesen Infos eine
> Ebenengleichung aufstellen kann.
>
> Mit Hilfe von A und B könnte beim Aufstellen mit einer
> Parameterform die Koordinaten von A als Ortsvektor genutzt
> werden und ein Richtungsvektor
> [mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{-5 \\ 2 \\ 5}[/mm] aufgestellt
> werden.
> Ich habe mir nun überlegt, dass die Kugel in Richtung des
> steilsten Abstieges rollt und das hat doch irgendetwas mit
> dem negativen Gradienten zu tun. Muss ich mir die
Hallo, das mit dem Gradienten mag stimmen, damit kenne ich mich nicht mehr so aus (ist Jahrzehnte her).
Vielleicht6 geht es erst mal geometrisch anschaulich.
AB ist also die Falllinie (wie du sagtest, die Richtung des steilsten Anstiegs).
Senkrecht zur Falllinie kann man in der Ebene die Höhenlinie einzeichnen.
Du brauchst also eine Gerade, die (z.B.) durch A geht, in der Ebene liegt und sekrecht zu AB verläuft.
Nun gibt es zu einer gegebenen Raumgeraden AB unendliche viele Raumgeraden, die darauf senkrecht stehen.
Deine EINE besondere Gerade ist nun die, bei der die z-Koordinate konstant bleibt (da es eine Höhenlinie ist).
Stelle also die Gleichung für die Senkrechte (bzw. deren Richtungsvektor) allgemein auf (da sie nicht eindeutig ist, hat sie einen freien Parameter)
und wähle anschließend den Parameter so, dass z konstant bleibt.
Gruß Abakus
PS:
Mir fällt gerade ein, dass es einfacher geht. Wenn Falllinie und Höhenlinie aufeinander senkrecht stehen, tun dies auch deren Projektionen in die x-y-Ebene.
Gruß Abakus
> Ebenengleichung dann in Koordinatenform als z = ax + by
> vorstellen und wäre dann a = -5 und b = 2 (die ersten
> beiden Einträge des Richtungsvektors ?)
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> Danke schon im voraus für eure Hinweise.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Viele Grüße
> Rubi
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