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Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Folgende Aufgabe muss ich lösen:
Eine Parabel 2. Grades hat eine Nullstelle bei x=3; ihre Steigung im Punkt P (0/3) hat den Wert -4.
a) Bestimme die Gleichung der Parabel und die Gleichung der Geraden durch P und die Nullstelle, und zeichnen sie den Funktionsgraphen.
b) Berechne den Inhalt der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche.
c) Bestimme die Parabel 3. Grades, welche die Normalparabel im Punkt P(0/3) berührt und welche die Gerade im Punkt N (3/0) zur Tangente hat.
Habe teilweise versucht die aufgabe zu lösen. Jetzt möcht ich von euch Mathe-Assen eine Bestätigung haben.
zu a) für die Normalparabel hab ich die Gleichung x²-12x+3 raus, kann das stimmen??? Und für die Gerade die Funktion -4x+3. Zeichnen kann ich das dann.
zu b) wenn ich die eingeschlossene Fläche nun berechnen soll, setze ich o. g. Funktionen gleich und bekomme als Unter- und Oberwert 0 und 8 raus.
dann ist die Flächenberechnung kein Problem mehr für mich.
Stimmt das soweit? Um jedes Kommentar wär ich echt dankbar!!!
Mein großes Problem ist jetzt die Aufgabe c) Das ist wirklich zu kompliziert für mich.
kann mir da jemand helfen???
Leider kann ich erst wieder heut abend ins Forum gucken, wär aber froh wenn sich dann jemand gemeldet hat.
Gruß,
Sarah
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Di 09.11.2004 | | Autor: | Fugre |
> Hallo!
Hi Sarah-San,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Folgende Aufgabe muss ich lösen:
>
> Eine Parabel 2. Grades hat eine Nullstelle bei x=3; ihre
> Steigung im Punkt P (0/3) hat den Wert -4.
> a) Bestimme die Gleichung der Parabel und die Gleichung
> der Geraden durch P und die Nullstelle, und zeichnen sie
> den Funktionsgraphen.
> b) Berechne den Inhalt der von den beiden Graphen
> eingeschlossenen Fläche.
> c) Bestimme die Parabel 3. Grades, welche die
> Normalparabel im Punkt P(0/3) berührt und welche die Gerade
> im Punkt N (3/0) zur Tangente hat.
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> Habe teilweise versucht die aufgabe zu lösen. Jetzt möcht
> ich von euch Mathe-Assen eine Bestätigung haben.
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> zu a) für die Normalparabel hab ich die Gleichung x²-12x+3
> raus, kann das stimmen??? Und für die Gerade die Funktion
> -4x+3. Zeichnen kann ich das dann.
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") leider ist die Gleichung für die Parabel nicht ganz richtig.
Wenn ich es richtig sehe, dann hast du schon den richtigen Ansatz gehabt, aber am Ende falsch eingesetzt.
Deine 3 Gleichungen sind ja:
(1) $ f(3)=9a+3b+c=0 $
(2) $ f(0)=c=3 $
(3) $ f'(0)=b=-4 $
Wenn du jetzt (2) und (3) in (1) einsetzt, erhälst du Folgendes:
$ 9a-12+9=0 $
$ a=1 $
und die Funktion deiner Parabel lautet: $ [mm] f(x)=x^2-4x+3 [/mm] $
Ein kleiner Tipp für die Zukunft: Setze doch einfach mal die Koorinaten der bekannten Punkte in die von dir erhaltenen
Funktionen ein. Denn stimmen sie nicht überein, dann ist es ![[sehrverdaechtig]](/images/smileys/sehrverdaechtig.gif "[sehrverdaechtig]")
Die Geraden hat nach meiner Rechnung leider auch eine andere Funktion. Für sie haben wir ja die beiden Gleichungen:
(1) $ g(0)=b=3 $
(2) $ g(3)=3m+b=0 $
So jetzt (2) in (1):
$ 3m+3=0 $
$ m=-1 $
So dass unsere Gerade folgende Funktion hat: $ g(x)=-x+3 $
> zu b) wenn ich die eingeschlossene Fläche nun berechnen
> soll, setze ich o. g. Funktionen gleich und bekomme als
> Unter- und Oberwert 0 und 8 raus.
> dann ist die Flächenberechnung kein Problem mehr für
> mich.
Bei der Flächenberechung kann ich dir leider nicht helfen.
>
> Stimmt das soweit? Um jedes Kommentar wär ich echt
> dankbar!!!
>
>
> Mein großes Problem ist jetzt die Aufgabe c) Das ist
> wirklich zu kompliziert für mich.
> kann mir da jemand helfen???
> Leider kann ich erst wieder heut abend ins Forum gucken,
> wär aber froh wenn sich dann jemand gemeldet hat.
>
> Gruß,
> Sarah
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>c) Bestimme die Parabel 3. Grades, welche die
> Normalparabel im Punkt P(0/3) berührt und welche die Gerade
> im Punkt N (3/0) zur Tangente hat.
Die hier ist wirklich etwas knifflig, wenn wir aber schrittweise vorgehen wird auch das kein Problem.
(1) Es ist eine Parabel 3. Ordnung, also wissen wir: $ [mm] p(x)=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] $
(2) Der Punkt P(0/3) liegt auf ihr, also: $ p(0)=d=3 $
(3) Sie berührt im Punkt P(0/3) die Parabel, die beiden Kurven haben in diesem Punkt die gleichen Steigungen. (Die erste Ableitung entspricht der Steigung)
Also können wir schreiben: $ p'(0)=f'(0) $ daraus folgt $ c=-4 $
(4) Der Punkt N(3/0) ist Punkt von $ p(x) $ => $ 27a+9b+3c+d=0 $
(5) Die Gerade ist in N(3/0) eine Tangente, daraus folgen gleiche Steigungen: $ p'(3)=g'(3) $ => $ p'(3)=27a+6b+c=-1 $
Somit hast du 4 Gleichungen mit 4 unbekannten und die Aufgabe ist lösbar.
Kontrollergebnis: $ p(x)= [mm] \bruch{-1}{3}x^3+2x^2-4x+3 [/mm] $
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Falls etwas unklar bleiben sollte, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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Hallo Fugre,
erst mal vielen Dank für deine Antwort.
Ich hab das jetzt mal alles in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Sieht super aus, und denk auch dass das stimmt.
die c) kommt mir nach mehrerem lesen und deiner Lösung gar nicht mehr so schwer vor....
nur noch eine Frage:
zu aufg. a) die Gerade!
also den Punkt P(0/3) setz ich ein, dann heißt die Formel: g(3)=0xa+b, b=3
wenn ich das b dann einsetze, heißt es doch: 3=0a+3, 0=0a
und dann ist a=1??? aber das kann ja irgendwie auch nicht sein, durch 0 kann man m. M. nach doch nicht teilen. wo hast du denn den anderen Punkt her?
durch die Aufgabe c kann man sich ja denken, das die Gerade noch durch die Nullstelle x=3 läuft.
Aber warum weißt du das bei Aufgabe a schon???
Wenn ich nämlich bei der Parabel 2. Grades die Nullstellen ausrechne, bekomm ich 1. (3/0) und 2. (1/0) raus. Angenommen ich nehm jetzt die 2. Nullstelle dann ist die Aufgabe ja komplett falsch. Also woher weiß ich welche Nullstelle ich nehmen soll???
Ansonsten dank ich dir für deine Hilfe, auch dafür, dass du das nicht so kompliziert erklärt hast, dass sogar ich das verstanden hab ))
gruß,
sarah-san
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah-San,
der 2. Punkt wird Dir ja bereits durch die Aufgabenstellung vorgegeben:
> Nullstelle bei x=3
Damit hast Du den Punkt N(3/0) gegeben.
Und es ist eindeutig, welche Nullstelle gemeint ist.
Also nun in die Geradengleichung y = a·x + b:
1. Punkt: P(0/3)
3 = a·0 + b <=> b = 3
2. Punkt: N(3/0)
0 = a·3 + b = a·3 + 3 <=> a = -1
(hier wurde b = 3 aus der 1. Gleichung eingesetzt)
> wenn ich das b dann einsetze, heißt es doch: 3=0a+3,
> 0=0a und dann ist a=1???
b einsetzen kannst Du erst in eine 2. Gleichung, wie oben geschehen.
Aus der Gleichung 0 = 0a kannst Du NICHT folgern a = 1, weil "0 = 0" ist eine wahre Aussage, die ja für alle a gilt.
> durch 0 kann man m. M. nach doch nicht teilen.
Völlig richtig.
Ich hoffe, nun sind alle Klarheiten beseitigt ...
Grüße Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Mi 10.11.2004 | | Autor: | sarah-san |
Hallo Loddar!
Ich schlag mir mal grad an die Stirn...!
Danke jedenfalls euch beiden für die schnelle Hilfe!
Bis zum nächsten Problem
Gruß,
sarah-san
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