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Forum "Differentialgleichungen" - Aufstellen einer Clairaut DGL
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Aufstellen einer Clairaut DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:01 Do 28.10.2010
Autor: bollera

Aufgabe
Stellen Sie für folgende Geradenscharen die entsprechenden Clairautschen Differentialgleichungen auf und bestimmen Sie ihre Einhüllenden:
a) die Strecke zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse und der y-Achse ist konstant.
b)das mit den Koordinatenachsen gebildete Dreieck hat konstante Fläche.


Hallo Leute,
also ich muss diese Gleichungen, y=kx+d, aufstellen und bezeichne dazu den Abschnitt auf der y-Achse als d und den auf der x-Achse als -d/k.D
Da jetzt die in a) geforderte Strecke konstant, sagen wir s, sein soll, habe ich Pythg. Lehrsatz angesetzt und komme auf d [mm] =\bruch{s*k}{\wurzel{1+k^2}}. [/mm]
Die Clairautsche Gleichung lautet dann, mit dem Ansatz y'=k, y=xy'+f(y'), wobei [mm] f(t)=\bruch{s*t}{t^2+1} [/mm] und [mm] f'(t)=\bruch{s*\wurzel{t^2+1}}{(t^2+1)^2} [/mm] ist.
Wenn ich jetzt x = -f'(t) und y = -t*f'(t)+f(t) ansetze, komme ich auf das gar nicht schöne Endergebnis (also die Einhüllende der Geradenschar)
y = [mm] -x*\wurzel{\wurzel[3]{\bruch{s^2}{x^2}}-1} [/mm]

Meine Frage: Kann denn das stimmen? Würdet ihr das auch so ansetzen? Und was soll ich mit den ganzen Beträgen machen? (Hab jetzt einfach mal immer nur die positive Wurzel genommen)

Für b ist es mir ähnlich ergangen, hier ist die Enveloppe [mm] y=\bruch{c}{2x}, [/mm] wobei c der constante Flächeninhalt ist.

Bin für jeden Hinweis dankbar! :-)

Danke danke schon mal!





Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Aufstellen einer Clairaut DGL: Loesung ohne DGl
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Sa 30.10.2010
Autor: moudi

Hallo bollera

Ich weiss nicht ob die Differentialgleichung stimmt. Ich habe die Einhuellenden mit anderen Methoden bestimm (ohne eine DGl zu loesen).

Im Fall a) sollt man auf die Asteroide [mm] $x^{2/3}+y^{2/3}=s^{2/3}$ [/mm] kommen.

Der Fall b) ist korrekt.

mfG Moudi

Bezug
                
Bezug
Aufstellen einer Clairaut DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Mo 01.11.2010
Autor: lucon

Hallo!

Ich habe zu a) noch eine Frage bzw. wie kommst du zu dieser Lösung.
Ich hänge gerade bei [mm] f(t)=s*t/\wurzel{t^{2}+1} [/mm] und   [mm] f'(t)=s/\wurzel{(t^{2}+1)^{3}} [/mm]   .
dann setze ich x =-f'(t) ein und erhalte [mm] y=-t*f'(t)+f(t)=-st^{3}/\wurzel{(t^{2}+1)^{3}} [/mm]
Stimmt das bis jetzt bzw. wo habe ich hier den Fehler gemacht bzw. wie kommst du auf diese Lösung? weil ich komme irgendwie nicht auf die gleiche Lösung!

lg

Bezug
                        
Bezug
Aufstellen einer Clairaut DGL: Loesung ohne DGL
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Mo 01.11.2010
Autor: moudi

Hallo Lucon

Ich erklaere, wie ich es gemacht habe.
Ich nehme an dass eine Funktionenschar $y=F(x,c)$ gegeben sind, wobei der $c$ der Scharparameter ist.

Beispiel zu b). Ist A die Flaeche des Dreiecks und ist (c,0) der Schnittpunkt der Gerade mit der x-Achse, dann ist (0,2A/c) der Schnittpunkt mit der y-Achse (damit das Dreieck die Flaeche A hat) und die Funktionenschar=Geradenschar ist gegeben durch die Funktion [mm] $y=F(x,c)=-\frac{A}{c^2}(x-c)$. [/mm]

Gesucht ist jetzt die Einhuellende der Kurvenschar. Die Einhuellende beruehrt jede Kurve der Kurvenschar. Sei $((x(c),y(c))$ der Beruehrungspunkt der Einhuellenden mit der Kurve der Schar, die zum Scharparameter c gehoert. Ich parametrisiere also die gesuchte Kurvenschar mit dem Scharparameter c.

Dann sind x(c) und y(c) durch 2 Bedingungen charakterisiert.
1. Der Punkt (x(c),y(c)) liegt auf der Kurve zum Parameter c. D.h. $y(c)=F(x(c),c)$.
2. Die Steigung der Einhuellenden im Punkt $(x(c),y(c))$ stimmt mit der Steigung der der Kurve zum Parameter c in $(x(c),y(c))$ ueberein, das heisst [mm] $\frac{\frac{d}{dc}y(c)}{\frac{d}{dc}x(c)}=\frac{d}{dx}F(x(c),c)$ [/mm] oder [mm] $\frac{y'(c)}{x'(c)}=F'(x(c),c)$ [/mm] wobei die Ableitungen "richtig" zu verstehen sind.

Die 2. Bedingung sagt gerade, dass die Einhuellende die Kurve zum Parameter c der Kurvenschar im Punkt $(x(c), y(c))$ beruehrt

Ich nehme jetzt die 1. Bedingung und leite nach c(!) ab:
[mm] $\frac{d}{dc}y(c)=\frac{d}{dc}F(x(c),c)$. [/mm]
Es ergibt sich dann rechts mit der verallgemeinerten Kettenregel
[mm] $y'(c)=\frac{\partial}{\partial x}F(x(c),c)\cdot x'(c)+\frac{\partial}{\partial c}F(x(c),c)$ [/mm] oder [mm] $y'(c)=F'(x(c),c)\cdot x'(c)+\frac{\partial}{\partial c}F(x(c),c)$. [/mm]

Wegen der 2. Bedingung gilt [mm] $y'(c)=F'(x(c),c)\cdot [/mm] x'(c)$, deshalb reduziert sich die obenstehende Gleichung zur Enveloppen-Bedingung [mm] $\frac{\partial}{\partial c} [/mm] F(x(c),c)=0 \ [mm] (\ast)$. [/mm]

Die Enveloppen-Bedingung [mm] $(\ast)$ [/mm] nach x aufgeloest liefert $x(c)$, was man nachher in die Funktionsschar einsetzen kann um $y(c)=F(x(c),c)$ zu erhalten. Man hat dann eine Parameterdarstellung (x(c),y(c)) der Enveloppe. Eliminierung des Parameters c fuehrt dann zu einer Koordinatengleichung der Enveloppe.

Ich demonstriere das Verfahren am Beispiel a). (Alle Berechnungen wurden mit dem TI-89 durchgefuehrt.)
Sei s die Laenge der Strecke und c der x-Achsenabschnitt, dann ist [mm] $\sqrt{s^2-c^2}$ [/mm] der y-Achsenabschnitt. Die Steigung der Strecke ist dann [mm] $-\frac{\sqrt{s^2-c^2}}{c}$ [/mm] und die Geradenschar ist gegeben durch [mm] $F(x,c)=-\frac{\sqrt{s^2-c^2}}{c}(x-c)$. [/mm]

Die Eveloppenbedingung fuehrt zu [mm] $\frac{\partial}{\partial c}\left(-\frac{\sqrt{s^2-c^2}}{c}(x-c)\right)=\frac{\sqrt{s^2-c^2}x}{c^2}+\frac{x-c}{\sqrt{s^2-c^2}}=0$. [/mm]

Nach x aufgeloest erhaelt man [mm] $x(c)=\frac{c^3}{s^2}$ [/mm] und in die Funktionenschar eingesetzt [mm] $y(c)=F(x(c),c)=-\frac{\sqrt{s^2-c^2}}{c}(\frac{c^3}{s^2}-c)=\frac{(s^2-c^2)^{3/2}}{s^2}$. [/mm]

Eind Parameterdarstellung der Enveloppe ist also gegeben durch [mm] $(x(c),y(c))=(\frac{c^3}{s^2},\frac{(s^2-c^2)^{3/2}}{s^2})$. [/mm]

Um den Parameter c zu eliminieren bemerkt man, dass aus [mm] $x=\frac{c^3}{s^2}$ [/mm] folgt [mm] $xs^2=c^3$ [/mm] und daraus [mm] $c^2=x^{2/3}s^{4/3}$. [/mm] Setzt man das ein, so ergibt sich [mm] $y=(s^{2/3}-x^{2/3})^{3/2}$ [/mm] oder in einer symmetrischeren Form

[mm] $x^{2/3}+y^{2/3}=s^{2/3}$. [/mm]

mfG Moudi






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