Aufstellung harmonische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei S:= [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{2}}. [/mm] Man zeige
1 - [mm] \bruch{1}{2^{2}}-\bruch{1}{4^{2}}+\bruch{1}{5^{2}}+\bruch{1}{7^{2}}-\bruch{1}{8^{2}}-\bruch{1}{10^{2}}+\bruch{1}{11^{2}}+\bruch{1}{13^{2}}--++...=\bruch{4}{9}S. [/mm] |
Guten Abend
Ich habe versucht die Aufgabe mithilfe einer ähnlichen Beispielaufgabe zu lösen. Das hat aber nicht geklappt, da hier alle Brüche mit dem Nenner der durch 3 teilbar ist fehlen.
Ich habe für die Brüche die Summe zusammengestellt:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k-1)^{2}}-\bruch{1}{(2k)^{2}}-\bruch{1}{(3k)^{2}}(-1)^{k+1}
[/mm]
Ist die Summe so richtig? Und wenn ja, wie komme ich von dieser Summe zu [mm] \bruch{4}{9}S?
[/mm]
gruß schneeweißchen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Sa 06.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist keine harmonische Reihe!
Versuch doch mal, was von S fehlt, bzw. noch zusätzlich abgezogen wird.
Dann zieh das alles von S ab, und du kommst auf die 4/9S
z.Bsp.fehlen alle alle [mm] 1/(3k)^2 [/mm] , es fehlen die [mm] 1/(2k)^2 [/mm] und werden dann noch abgezogen, das heisst sie fehlen 2 mal. nun hast du aber die [mm] 1/(6k)^2 [/mm] 2 mal zuviel abgezogen.
Wenn du das ordentlich aufschreibst kommst du ans Ziel.
Da du ja auch S nicht kennst, kannst du auch deine Summen nicht aufschreiben, die auch z.T. falsch sind.
Um das festzustellen musst du ja nur die ersten 10 hinschreiben.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo
> Das ist keine harmonische Reihe!
>
Wieso ist das keine harmonische Reihe? [mm] \sum_{k=1}{\infty} \bruch{1}{k^{2}} [/mm] ist doch eine harmonische Reihe, oder nicht? Laut wikipedia doch schon ... .
> Versuch doch mal, was von S fehlt, bzw. noch zusätzlich
> abgezogen wird.
> Dann zieh das alles von S ab, und du kommst auf die 4/9S
> z.Bsp.fehlen alle alle [mm]1/(3k)^2[/mm] , es fehlen die [mm]1/(2k)^2[/mm]
> und werden dann noch abgezogen, das heisst sie fehlen 2
> mal. nun hast du aber die [mm]1/(6k)^2[/mm] 2 mal zuviel
> abgezogen.
Ganz ehrlich: ich versteh nur Bahnhof... ![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
> Wenn du das ordentlich aufschreibst kommst du ans Ziel.
> Da du ja auch S nicht kennst, kannst du auch deine Summen
> nicht aufschreiben, die auch z.T. falsch sind.
Wieso sagst du einmal oben "Dann zieh das alles von S ab, und du kommst auf die 4/9S" und ein anderes mal "Da du ja auch S nicht kennst"... für mich ist das ein Widerspruch... sorry...
> Um das festzustellen musst du ja nur die ersten 10
> hinschreiben.
Ich hab die ersten 10 meiner Summe hingeschrieben und bei mir kam das richtige raus...
> Gruss leduart
gruß schneeweisschen
PS: Ich habe gelernt, dass man sich für Fragen nicht zu schämen braucht, also stelle ich viele Fragen 
|
|
|
| |
|
Hallo,
so wie ich es sehe, liegst Du mit Deiner Reihe doch nicht so schlecht:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{(2k-1)^{2}}-\bruch{1}{(2k)^{2}}-\bruch{1}{(3k)^{2}}(-1)^{k+1})
[/mm]
[mm] =\sum_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{(2k-1)^{2}}-\bruch{1}{(2k)^{2}}+\bruch{1}{(3k)^{2}}(-1)^{k+})
[/mm]
[mm] =\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k-1)^{2}}-\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k)^{2}}+ \sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(3k)^{2}}(-1)^{k}
[/mm]
[mm] =(S-\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k)^{2}})-\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k)^{2}}+(-\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(3k)^{2}}+2\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(6k)^{2}})
[/mm]
Hiermit ist man fast am Ziel.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
guten abend,
dass meine aufstellung stimmt, freut mich schon mal. ich habe deine angaben auch fast verstanden. was mir leider nicht ganz klar ist, wie du von der vorletzten auf die letzte zeile kommst, also auf das:
> [mm]=(S-\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k)^{2}})-\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k)^{2}}+(-\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(3k)^{2}}+2\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(6k)^{2}})[/mm]
könnte mir das vielleicht jemand etwas ausführlicher erklären? und warum ist das S da jetzt mit drin.
danke im voraus
gruß schneeweisschen
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
|
| |
|
> guten abend,
> dass meine aufstellung stimmt, freut mich schon mal. ich
> habe deine angaben auch fast verstanden. was mir leider
> nicht ganz klar ist, wie du von der vorletzten auf die
> letzte zeile kommst, also auf das:
> >
> [mm]=(S-\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k)^{2}})-\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k)^{2}}+(-\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(3k)^{2}}+2\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(6k)^{2}})[/mm]
>
> könnte mir das vielleicht jemand etwas ausführlicher
> erklären? und warum ist das S da jetzt mit drin.
Hallo,
betrachten wir
[mm] =\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k-1)^{2}}-\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k)^{2}}+ \sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(3k)^{2}}(-1)^{k}.
[/mm]
Die erste Summe, [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k-1)^{2}} [/mm] hat nur ungerade Quadrate im Nenner? Wie geht sie aus [mm] \summe\bruch{1}{n^2} [/mm] hervor? Na, indem man von [mm] \summe\bruch{1}{n^2} [/mm] die ganzen Summanden mit geraden Quadraten im Nenner wegnimmt.
Also [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k-1)^{2}}= \summe\bruch{1}{n^2}- \summe\bruch{1}{(2n)^2}.
[/mm]
Das S kommt ins Spiel, weil lt. Aufgabenstellung so der Grenzwert von [mm] \summe\bruch{1}{n^2} [/mm] heißen soll.
Nun
[mm] \sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(3k)^{2}}(-1)^{k}.
[/mm]
Was haben wir da? Kehrwerte von Quadraten von Vielfachen von 3 werden aufsummiert. Und zwar so, daß die ungeraden Vielfachen wg. [mm] (-1)^{k} [/mm] subtrahiert werden, die geraden Vielfachen von 3 werden addiert.
[mm] \sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(3k)^{2}}(-1)^{k}=-\sum_{3k- {ungerade}}\bruch{1}{(3k)^{2}}+\sum_{3k-{gerade}}\bruch{1}{(3k)^{2}}
[/mm]
Denselben Effekt erreicht man, wenn man zunächst sämtlich negative Quadrate nimmt und dann eben zweimal die geraden addiert:
[mm] =-\sum\bruch{1}{(3k)^{2}}+2\sum_{3k-{gerade}}\bruch{1}{(3k)^{2}}
[/mm]
Na, und was bedeutet "3k gerade"? Daß es durch 6 teilbar ist. Also
[mm] =-\sum\bruch{1}{(3k)^{2}}+2\sum\bruch{1}{(6k)^{2}}
[/mm]
Wenn Du das so stehen hast, ist alles mundgerecht vorbereitet zum Herausziehen der Faktoren, so daß Du dann lauter Vielfache von S dastehen hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
hallo
jetzt hab ichs verstanden und bin auch auf das richtige ergebniss gekommen. vielen dank für die hilfe.
gruß
schneeweisschen
|
|
|
|
