Auftrieb und Schwimmen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche und Höhe h, die aus Eis mit der Dichte [mm] \rho_E=0.95 [/mm] besteht, ist mit der Spitze nach oben auf einen Stab frei beweglich in einen Behälter mit Salzwasser [mm] (\rho_w=1,05) [/mm] eingetaucht.
a) Wie tief taucht die Pyramide ins Wasser ein? |
Hallo,
Grundsätzlich taucht die Pyramide solange ein, bis sich ein Kräftegleichgewicht zwischen Gewichtskraft und Auftriebskraft einstellt,
also [mm] -F_A=F_G
[/mm]
die Gewichtskraft die auf die Pyramide wirkt ist ja einfach [mm] F_G=m*g=\rho_E*V*g=\rho_E*A*h*g [/mm] mit A=Grundfläche Pyramide
und der Auftrieb ist [mm] F_A=\rho_w*V*g [/mm] mit V= Volumen des verdrängten Fluids.
Aber jetzt weiß ich nicht ganz, wie ich das konkret berechnen soll, weil ich ja wissen müsste, wie viel Wasser der eingetauchte Teil der Pyramide verdrängt und ich weiß doch gar nicht, wie viel der Pyramide überhaupt eintaucht??
Wäre nett, wenn mir schnell jemand helfen könnte!
Liebe Grüße
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Hallo!
Im Prinzip kannst du das Problem zunächst ohne die Pyramide lösen:
Du hast ein Volumen [mm] V_1 [/mm] der Dichte 0.95 und damit der Masse m.
Welches Volumen [mm] V_2 [/mm] mit einer Dichte on 1,05 hat die gleiche Masse? Da kein konkretes Volumen gegeben ist, solltest du das als Verhältnis rechnen: Welcher Bruchteil von [mm] V_1 [/mm] hat bei einer Dichte von 1,05 die gleiche Masse?
Damit weißt du, welcher Anteil unter Wasser liegt, und welcher darüber. Und das kannst du dann auf beliebig geformte Körper übertragen.
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Hallo,
danke für die Antwort!
Also Anfangs habe ich ja zu erfüllen:
[mm] F_G=-F_A [/mm] also [mm] \rho_{fl}*V_{fl}*g=\rho_{K}*V_{K}*g
[/mm]
und die gesuchte Höhe steckt doch nun in dem Volumen des Körpers mit [mm] V_{Pyramide}=\frac{1}{3}A*h, [/mm] oder?
Mit deinem Tipp das als Verhältnis auszurechnen, kann ich doch schreiben:
[mm] \frac{V_1*0,95}{m}=\frac{V_2*1,05}{m} \Rightarrow V_2=0,9975*V_1, [/mm] d.h. dass 99% des Volumens [mm] V_1 [/mm] mit der Dichte [mm] \rho_1 [/mm] unter Wasser sein müssen, damit [mm] V_2 [/mm] mit einer Dichte [mm] \rho_2 [/mm] (Also das Wasser) dieselbe Masse hat.
Habe ich da was falsch verstanden, oder geht das so?
Jetzt könnte ich das für das verdrängte Volumen in meine Anfangsbedingung einsetzen und erhalte mit:
[mm] \rho_{fl}*0,99*V_1*g=\rho_E*\frac{1}{3}*A*h*g \Rightarrow h=\frac{\rho_fl*0,99*V_1}{\rho_E*3*A}
[/mm]
Kann das sein?=)
Liebe Grüße
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Hallo!
Die Sache mit dem Auftrieb brauchst du nun nicht mehr für die Pyramide.
Denk dran, 99% des Volumens sind unter Wasser, 1% ist drüber.
Die Figur unter Wasser ist übrigens ein Pyramidenstumpf, also ohne Spitze. Dafür ist die Formel etwas komplizierter, aber du kannst dich ja auch fragen, wie hoch eine kleine Pyramide ist, die 1% des Volumens einer großen mit gegebener Höhe hat, das wäre dann das, was oben raus schaut!
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Hallo,
mir ist noch nicht ganz klar, weshalb dieser Ansatz so korrekt ist:
Wir haben berechnet, wie viel Volumen [mm] V_2 [/mm] wir brauchen, damit dieses mit Dichte [mm] \rho_2 [/mm] dieselbe Masse m besitzt wie ein Volumen [mm] V_1 [/mm] mit Dichte [mm] \rho_1.
[/mm]
Aber ich dachte beim Auftrieb geht es darum, dass die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft des verdrängten Fluidvolumens ist. Das heißt, das verdrängte Volumen des Wassers ist gleich dem Volumen der Pyramide, die im Wasser ist und damit ist dann die Masse des Wassers, dieses verdrängte Volumen mal der Dichte des Wassers.
Wir sind doch jetzt grade davon ausgegangen, dass die Masse des Verdrängten Volumens und der Masse der Pyramide gleich sind?
Das macht für mich noch nicht ganz Sinn?!
Gruß
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Hallo!
Aber genau darum geht es. Du schreibst die ganze Zeit [mm] $F=\rho [/mm] Vg$, und meinst damit ein Volumen mit Dichte [mm] \rho [/mm] . Das ist aber die Masse des Volumens, und damit $F=mg$ .
Die Gewichtskraft der Pyramide ergibt sich aus ihrem gesamten Gewicht. Der Auftrieb jedoch ergibt sich wieder über die Formel [mm] $\rho [/mm] Vg$, diesmal aber bezogen auf das verdrängte Fluid. Und damit ergibt sich der Auftrieb aus der Masse des verdrängten Fluids.
Wenn du einen körper hast, der [mm] 2m^3 [/mm] groß ist und 1000kg ( [mm] \rho=0,5 [/mm] ) wiegt, so muß er, um zu schwimmen, 1000kg Wasser verdrängen, und damit wird die Hälfte des Körpers unter der Oberfläche liegen.
Du hast nun das Volumen mit Dichte 0,95, und berechnest daraus das Volumen mit Dichte 1,05, das verdrängt werden muß.
Die Differenz von beidem ist das Volumen der Spitze der Pyramide, die aus dem Wasser ragt.
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Hallo, danke jetzt leuchtet mir das einigermaßen ein.
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Ich habe einen für mich etwas verständlicheren Ansatz gewählt:
Grundsätzlich [mm] -F_A=F_G
[/mm]
und dann für [mm] F_A=\frac{1}{3}A*h_i*\rho_w*g, [/mm] wobei [mm] h_i [/mm] hier eben die Höhe der Pyramide ist, mit der diese in was Wasser ragt, so erhält man immer das jeweils verdrängte Wasservolumen und mit der Dichte dann die Masse des Wassers und damit die Auftriebskraft.Und dann eben für [mm] F_G=\frac{1}{3}*A*h*\rho_{Pyr}*g, [/mm] wobei hier h eben die komplette Höhe der Pyramide ist, weil die Gewichtskraft ja immer auf die gesamte Pyramide wirkt.
Gleichsetzen ergibt:
[mm] \frac{1}{3}*A*h*\rho_{Pyr}*g=-\frac{1}{3}*A*h_i*\rho_{w}*g \Rightarrow h_i=\frac{h*\rho_{pyr}}{\rho_w}
[/mm]
Kann das so sein, oder hab ich irgendwo ziemlich was verbaselt?=)
Falls ja, wäre ich natürlich für konstruktive Kritik dankbar!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 Di 26.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. deine 0.99 sind falsch gerechnet.
2. ich hab die aufgabe so verstanden, dass das eingetauchte volumen ein pyramidenstumpf ist, die Spitze ragt aus dem Wasser. damit sind deine Volumenformeln falsch.
Gruss leduart
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Hallo,
ja das mit dem Stumpf macht natürlich absolut Sinn.
Wenn ich jetzt anstatt der Pyramide die Formel für den Stumpf verwende ist die Idee eine „variable Höhe“ für das verdrängte Fluid aber korrekt?
Gruß
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Hallo!
Hmmm, das mit deinen Zahlenwerten war mir gar nicht aufgefallen.
Du kannst das natürlich über die Formel für den Pyramidenstupf machen, aber die offizielle Formel z.B. von Wiki ist
$$ V = [mm] \frac{h}{3} (A_\text{1} [/mm] + [mm] A_\text{2} [/mm] + [mm] \sqrt{A_\text{1} \cdot A_\text{2}}) [/mm] $$
mit Grundfläche und - äh - "Dachfläche"
Es ist wohl besser, wenn du dir deine eigene Formel bastelst:
[mm] $V_\text{Stumpf}=V_\text{Gesamt}-V_\text{Spitze}$
[/mm]
weil du dann die Höhe drin behältst.
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