Aus Homomorph folgt Potenzfkt. < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 So 22.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist f: [mm] \mathbb{S}^1\to \mathbb{S} [/mm] ein stetiger Gruppenhomomorphismus, dann existiert ein [mm] n\in \IZ, [/mm] sodass [mm] f(z)=z^n. [/mm] |
Tag Leute,
zunächst mal weiß ich gar nich wieso [mm] \mathbb{S}^1 [/mm] ne Gruppe ist, da steht ja auch gar nix dabei bzgl. welcher Verknüpfung. Das verwirrt mich also schon mal. Wir haben in ner Aufgabe vorher gezeigt dass [mm] ([\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1],+) [/mm] isomorph zu [mm] (\IZ,+) [/mm] ist, aber das hilft mir ja für den Beweis auch nich weiter oder?
Also im Prinzip reicht es schon, wenn man mir an Hinweis geben könnte wie die Idee hier aussieht, um das zu zeigen. Dann könnt ich mich dran setzen und selber probieren ob ichs rauskrieg. Im Moment bin ich völlig ideenlos.
Vielen Dank.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 So 22.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
Du meinst [mm]f: S^1 \to S^1[/mm]?
[mm] S^1 [/mm] angesehen als Teilmenge der komplexen Zahlen wird mit der gewöhnlichen Multiplikation von komplexen Zahlen zu einer Gruppe.
LG, Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 So 22.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay danke wär das schon mal geklärt :). Der Beweis will sich mir dadurch aber dennoch nich erschließen. Also wenn du da ne Idee hättest wie man hier vorgeht, wär ich dir sehr dankbar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie: Ist f: [mm]\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}[/mm] ein stetiger
> Gruppenhomomorphismus, dann existiert ein [mm]n\in \IZ,[/mm] sodass
> [mm]f(z)=z^n.[/mm]
> Tag Leute,
>
> zunächst mal weiß ich gar nich wieso [mm]\mathbb{S}^1[/mm] ne
> Gruppe ist, da steht ja auch gar nix dabei bzgl. welcher
> Verknüpfung. Das verwirrt mich also schon mal. Wir haben
> in ner Aufgabe vorher gezeigt dass
> [mm]([\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1],+)[/mm] isomorph zu [mm](\IZ,+)[/mm] ist,
> aber das hilft mir ja für den Beweis auch nich weiter
> oder?
>
> Also im Prinzip reicht es schon, wenn man mir an Hinweis
> geben könnte wie die Idee hier aussieht, um das zu zeigen.
> Dann könnt ich mich dran setzen und selber probieren ob
> ichs rauskrieg. Im Moment bin ich völlig ideenlos.
Gruppenhomomorphismus: [mm] $f(x)\ast [/mm] f(y) = [mm] f(x\ast [/mm] y)$. Nun schreibe $x$ und $y$ als e-Funktionen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 So 22.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
> > Also im Prinzip reicht es schon, wenn man mir an Hinweis
> > geben könnte wie die Idee hier aussieht, um das zu zeigen.
> > Dann könnt ich mich dran setzen und selber probieren ob
> > ichs rauskrieg. Im Moment bin ich völlig ideenlos.
>
> Gruppenhomomorphismus: [mm]f(x)\ast f(y) = f(x\ast y)[/mm]. Nun
> schreibe [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] als e-Funktionen.
Okay die Beziehung aufgrund des Homomorphismus is klar und, dass ich schreiben kann [mm] x=e^{ln(x)} [/mm] sowie [mm] y=e^{ln(y)} [/mm] ist auch klar. Jetzt bräcuht ich doch noch eine etwas genauere Erklärung inwieweit mir das weiterhilft.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 So 22.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hilft mir hier vielleicht der Satz über die Hochhebung weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:03 Mo 23.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hilft mir hier vielleicht der Satz über die Hochhebung
> weiter?
Das ist gut moeglich. Haengt ein wenig davon ab, was genau er bei euch besagt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:57 Mo 23.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Satz:
Sei [mm] f:\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1 [/mm] stetig.
Dann gibt es genau eine stetige Abbildung [mm] \varphi:[0,1]\to \IR [/mm] mit [mm] \varphi(0)=0 [/mm] und [mm] f\circ ex=f(1)*(ex\circ [/mm] f),
wobei ex die komplexe Exponentialfunktion.
Kann ich das irgendwie verwenden??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 So 22.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
> > > Also im Prinzip reicht es schon, wenn man mir an Hinweis
> > > geben könnte wie die Idee hier aussieht, um das zu zeigen.
> > > Dann könnt ich mich dran setzen und selber probieren ob
> > > ichs rauskrieg. Im Moment bin ich völlig ideenlos.
> >
> > Gruppenhomomorphismus: [mm]f(x)\ast f(y) = f(x\ast y)[/mm]. Nun
> > schreibe [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] als e-Funktionen.
>
> Okay die Beziehung aufgrund des Homomorphismus is klar und,
> dass ich schreiben kann [mm]x=e^{ln(x)}[/mm] sowie [mm]y=e^{ln(y)}[/mm] ist
> auch klar. Jetzt bräcuht ich doch noch eine etwas genauere
> Erklärung inwieweit mir das weiterhilft.
Ich denke mal, dass er Tipp so gemeint war, dass du Polarkoordinaten benutzen solltest.
LG, Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:48 So 22.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay ich habs jetzt auch nochmal in Polarform versucht, allerdings seh ich auch damit nicht so recht wohin das führen soll.
Wär echt klasse, wenn mir jemand nochmal den Zweck der e-Funktion näher erkärt bzw. wofür die e-Funktion im Beweis gut ist. Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 25.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:04 Mo 23.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wir haben in ner Aufgabe vorher gezeigt dass
> [mm]([\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1],+)[/mm] isomorph zu [mm](\IZ,+)[/mm] ist,
> aber das hilft mir ja für den Beweis auch nich weiter
> oder?
Was genau ist [mm] $([\mathbb{S}^1, \mathbb{S}^1], [/mm] +)$?
Die Gruppe aller stetigen Gruppenhomomorphismen [mm] $\mathbb{S}^1 \to \mathbb{S}^1$ [/mm] mit komponentenweiser Addition?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:50 Mo 23.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Die Menge $ [mm] [\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1] [/mm] $ kann man auch schreiben als $ [mm] \mathcal{C}(\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1)/\simeq [/mm] $ wobei $ [mm] \simeq [/mm] $ die Homotopierealation, d.h. eine Äquivalezrealation auf $ [mm] \mathcal{C}(\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1) [/mm] $ mit $ [mm] f\simeq [/mm] $ g genau dann, wenn f homotop zu g.
|
|
|
|
