Aus Sprungfkt eine Übertr-fkt. < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Di 11.08.2009 | | Autor: | Twinkie |
| Aufgabe | Ein System wird mit dem Einheitssprung [mm] \sigma(t) [/mm] beaufschlagt.
Seine zetliche Antwort ist gegeben durch
y(t) = 0 für t [mm] \le [/mm] 2
y(t) = [mm] 4(1-e^{-0.25(t-2)}) [/mm] für t > 2
Geben Sie die Übertragungsfunktion G(s) des Systems an |
Hallo!
Leider kann ich mit der Aufgabe nicht wirklich viel anfangen.
Wenn ich eine Sprungantwort für eine gegebene Übertragungsfunktion berechnen will, geht das ja mit
h(t) = [mm] L^{-1}(G(s)*1/s)
[/mm]
Mit [mm] L^{-1} [/mm] meine ich die inverse Laplacetransformation
Ist h(t) in diesem Fall y(t)
Mein Ansatz ist jetzt
y(t) = [mm] L^{-1}(G(s)*1/s)
[/mm]
L(y(t)) = G(s)*1/s
s*L(y(t)) = G(s)
Müsste die Laplacetransformierte aus einer Tabelle ablesen.
Aber funktioniert das überhaupt so?
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Di 11.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Twinkie,
die Impulsantwort im Zeitbereich ist die Ableitung der Sprungantwort. Leite einfach y(t) einmal nach der Zeit ab, da kommt ein Dirac-Impuls vor und noch einmal eine e-Funktion, alles in allem also Funktionen, die Du recht einfach dann Laplace-Transformieren kannst, um die Übertragungsfunktion rauszubekommen.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Twinkie |
| Aufgabe | Ein System wird mit dem Einheitssprung $ [mm] \sigma(t) [/mm] $ beaufschlagt.
Seine zetliche Antwort ist gegeben durch
y(t) = 0 für t $ [mm] \le [/mm] $ 2
y(t) = $ [mm] 4(1-e^{-0.25(t-2)}) [/mm] $ für t > 2
Geben Sie die Übertragungsfunktion G(s) des Systems an |
Hallo infinit!
y(t) = 0 für t $ [mm] \le [/mm] $ 2
y(t) = $ [mm] 4(1-e^{-0.25(t-2)}) [/mm] $ für t > 2
Wenn ich das Ableite, erhalte ich
y'(t) = 0 für t [mm] \le [/mm] 2
und
$y'(t) = [mm] 4*(0.25)e^{-0.25(t-2)} [/mm] = [mm] e^{-0.25(t-2)} [/mm] = [mm] e^{-0.25t}e^{-0.5}$ [/mm] für t > 2
Wenn ich letzteres Laplacetransformiere, erhalte ich
[mm] $\frac{1}{s+0.25}e^{-0.5} [/mm] = [mm] \frac{4}{4s+1}e^{-0.5}$
[/mm]
Jetzt würde ich sagen
G(s) = [mm] $\frac{1}{s+0.25}e^{-0.5} [/mm] = [mm] \frac{4}{4s+1}e^{-0.5}$ [/mm] für t > 2, 0 sonst
> die Impulsantwort im Zeitbereich ist die Ableitung der
> Sprungantwort.
Dass es sich hierbei um die Impulsantwort handelt, war mir nicht bewusst. Auch nicht, dass die Sprungfunktion gesucht ist.
Ich dachte, die Sprungfunktion wäre gegeben (wegen mit einem Sprung beaufschlagt...)
>Leite einfach y(t) einmal nach der Zeit ab,
Habe ich jetzt gemacht
> da kommt ein Dirac-Impuls vor und noch einmal eine
Den Diracimpuls sehe ich allerdings nicht.
> e-Funktion, alles in allem also Funktionen, die Du recht
> einfach dann Laplace-Transformieren kannst, um die
> Übertragungsfunktion rauszubekommen.
Kannst du mir noch mal helfen?
Danke
Twinkie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo twinkie,
Du hast Recht, da kommt kein Dirac drin vor, die beiden Definitionsgebiete schließen direkt wertemäßig aneinander an. Ich hatte mich durch die 4 vorne irre machen lassen.
Kurz zur Nomenklatur: Die Beaufschlagung eines Systems mit einem Einheitssprung ergibt ein Ausgangssignal, das man Sprungantwort nennt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Do 13.08.2009 | | Autor: | Twinkie |
| Aufgabe | Ein System wird mit dem Einheitssprung $ [mm] \sigma(t) [/mm] $ beaufschlagt.
Seine zetliche Antwort ist gegeben durch
y(t) = 0 für t $ [mm] \le [/mm] $ 2
y(t) = $ [mm] 4(1-e^{-0.25(t-2)}) [/mm] $ für t > 2
Geben Sie die Übertragungsfunktion G(s) des Systems an |
Hallo infinit.
Bist du auch so nett und guckst mal über meinen Rechenweg drüber, bitte?
Es ist
y(t) = 0 für t $ [mm] \le [/mm] $ 2
y(t) = $ [mm] 4(1-e^{-0.25(t-2)}) [/mm] $ für t > 2
abgeleitet nach der Zeit
y'(t) = 0 für t $ [mm] \le [/mm] $ 2
und
$ y'(t) = [mm] 4\cdot{}(0.25)e^{-0.25(t-2)} [/mm] = [mm] e^{-0.25(t-2)} [/mm] = [mm] e^{-0.25t}e^{-0.5} [/mm] $ für t > 2
Laplacetransformation bei Wikipedia sagt
[mm] e^{-\alpha t} \cdot [/mm] u(t) <-> { 1 [mm] \over s+\alpha [/mm] }
Deswegen
$ [mm] \frac{1}{s+0.25}e^{-0.5} [/mm] = [mm] \frac{4}{4s+1}e^{-0.5} [/mm] $
und mein Gesamtergebnis ist
G(s) = $ [mm] \frac{1}{s+0.25}e^{-0.5} [/mm] = [mm] \frac{4}{4s+1}e^{-0.5} [/mm] $ für t > 2, 0 sonst
Allerdings, wenn ich t=2 einsetze, erhalte ich leider nicht 0. Das deutet auf einen Fehler hin.
Twinkie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Do 13.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo twinkie,
aufgrund der unterschiedlichen Steigungen rechts und links von t=2 tritt in der Ableitung ein Sprung auf. Den hast Du auch fast richtig ausgerechnet, nur ein Minuszeichen hast Du nicht berücksichtigt und zwar bei der 1/2 im Exponenten der e-Funktion. Damit bekommst Du für t größer gleich 2
$$ [mm] y^{'}(t) [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{4}(t-2)} [/mm] $$ und das kannst Du darstellen als zeitverschobene e-Funktion. Verschiebst Du eine Zeitfunktion um den Zeitpunkt [mm]t_0 [/mm], so multiplizierst Du ihre Laplacetransformierte mit [mm] e^{- s t_0} [/mm]. Jetzt sollte die Lösung nicht mehr schwer fallen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Di 18.08.2009 | | Autor: | Twinkie |
Hallo infinit.
> eine Zeitfunktion um den Zeitpunkt [mm]t_0 [/mm], so multiplizierst
> Du ihre Laplacetransformierte mit [mm]e^{- s t_0} [/mm]. Jetzt
> sollte die Lösung nicht mehr schwer fallen.
Das war mir nicht bekannt. Aber damit ist es mir jetzt klar geworden, Danke!
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