Ausdruck auswerten < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:41 Do 12.10.2023 | | Autor: | Euler123 |
| Aufgabe | Der Ausdruck [mm] \( (\sqrt{2}-1)^{6} \) [/mm] soll ausgewertet werden, indem für [mm] \( \sqrt{2} \) [/mm] der Näherungswert 1.4 verwendet wird. Diesen Näherungswert kann man ebenfalls in die folgenden, dazu äquivalenten Ausdrücke einsetzen:
[mm] \frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{6}}, \quad(3-2 \sqrt{2})^{3}, \quad \frac{1}{(3+2 \sqrt{2})^{3}}, \quad [/mm] 99-70 [mm] \sqrt{2}, \quad \frac{1}{99+70 \sqrt{2}}
[/mm]
Mit welcher Alternative erzielt man das beste Resultat? Argumentieren Sie mit Hilfe der (relativen) Konditionszahlen. |
Hallo,
Ich soll gegebene Aufgabe lösen, habe aber nicht wirklich einen Plan, was genau zu tun bzw. vorzugehen ist:
Es steht ja geschrieben, dass man mithilfe der Konditionszahlen argumentieren soll - diese wären ja:
Die durch y=f(x) gegebene Aufgabe heißt "schlecht konditioniert", falls [mm] \( \left|k_{i j}(x)\right| \gg [/mm] 1 [mm] \), [/mm] ansonsten "gut konditioniert".
Die [mm] \( k_{i j}:=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(x) \frac{x_{j}}{f_{i}(x)} \) [/mm] erhält man über Taylor.
Weiter komme ich mit dieser Aufgabe aber leider nicht (wie müsste man bei solch einer Fragenstellung nun genau vorgehen?)
Vielen Dank für Hilfe im Voraus
"Ich habe diese Frage in keinen Forum auf anderen Internetseiten gestellt"
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Fr 13.10.2023 | | Autor: | meili |
Hallo Euler123,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Der Ausdruck [mm]\( (\sqrt{2}-1)^{6} \)[/mm] soll ausgewertet
> werden, indem für [mm]\( \sqrt{2} \)[/mm] der Näherungswert 1.4
> verwendet wird. Diesen Näherungswert kann man ebenfalls in
> die folgenden, dazu äquivalenten Ausdrücke einsetzen:
>
> [mm]\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{6}}, \quad(3-2 \sqrt{2})^{3}, \quad \frac{1}{(3+2 \sqrt{2})^{3}}, \quad[/mm]
> 99-70 [mm]\sqrt{2}, \quad \frac{1}{99+70 \sqrt{2}}[/mm]
>
> Mit welcher Alternative erzielt man das beste Resultat?
> Argumentieren Sie mit Hilfe der (relativen)
> Konditionszahlen.
> Hallo,
> Ich soll gegebene Aufgabe lösen, habe aber nicht wirklich
> einen Plan, was genau zu tun bzw. vorzugehen ist:
> Es steht ja geschrieben, dass man mithilfe der
> Konditionszahlen argumentieren soll - diese wären ja:
> Die durch y=f(x) gegebene Aufgabe heißt "schlecht
> konditioniert", falls [mm]\( \left|k_{i j}(x)\right| \gg[/mm] 1 [mm]\),[/mm]
> ansonsten "gut konditioniert".
> Die [mm]\( k_{i j}:=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(x) \frac{x_{j}}{f_{i}(x)} \)[/mm]
> erhält man über Taylor.
Das ist ja schon der Anfang. Wobei das für höher dimensionale Probleme gilt.
Für Funktionen $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] vereinfacht es sich zu $k = [mm] \left| \bruch{f'(x)}{f(x)}*x \right|$.
[/mm]
> Weiter komme ich mit dieser Aufgabe aber leider nicht (wie
> müsste man bei solch einer Fragenstellung nun genau
> vorgehen?)
Ist dir klar, dass alle 7 Terme äquivalent sind (falls die Nenner ungleich Null sind).
Nun ist die Frage, wie die jeweilige dazugehörige Funktion f(x) aussieht?
Der Funktionsterm, ist der jeweilige Term mit [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] anstatt [mm] $\wurzel{2}$.
[/mm]
Also z.B. für [mm]\( (\sqrt{2}-1)^{6} \)[/mm] [mm]f(x) = \( (\sqrt{x}-1)^{6} \)[/mm]
Nun Ableitung berechnen, einsetzen und k bestimmen.
>
> Vielen Dank für Hilfe im Voraus
>
> "Ich habe diese Frage in keinen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt"
Falls dabei Probleme auftauchen, kannst du ja noch mal nachfragen.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Fr 13.10.2023 | | Autor: | Euler123 |
Hallo meili,
Vielen Dank fÜr deine Antwort bzw. Erklärung. Wenn ich das jetzt so richtig verstehe müsste ich also so vorgehen:
$ [mm] \( (\sqrt{2}-1)^{6} \) [/mm] $ $ f(x) = [mm] \( (\sqrt{x}-1)^{6} \) [/mm] $
Die Ableitung wäre ja:
$ [mm] \( \begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[(\sqrt{x}-1)^{6}\right] \\ =6(\sqrt{x}-1)^{5} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[\sqrt{x}-1] \\ =6(\sqrt{x}-1)^{5}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[\sqrt{x}]+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[-1]\right) \\
=6(\sqrt{x}-1)^{5}\left(\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}+0\right) \\ =\frac{3(\sqrt{x}-1)^{5}}{\sqrt{x}}\end{array} \) [/mm] $
Wenn ich jetzt in $ k = [mm] \left| \bruch{f'(x)}{f(x)}\cdot{}x \right| [/mm] $ einsetze erhalte ich:
$ k = [mm] \left| \( \frac{\frac{3(\sqrt{x}-1)^{5}}{\sqrt{x}}}{3(\sqrt{x}-1)^{6}} *x\) \right| [/mm] $ = $ [mm] \( 243\left|\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right| \) [/mm] $ --> muss ich, und wenn ja wie, dieses k jetzt noch weiter auswerten?
Das gleiche mache ich dann auch noch mit:
$ [mm] \frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{6}}, \quad(3-2 \sqrt{2})^{3}, \quad \frac{1}{(3+2 \sqrt{2})^{3}}, \quad [/mm] $
$ 99-70 [mm] \sqrt{2}, \quad \frac{1}{99+70 \sqrt{2}} [/mm] $
oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Sa 14.10.2023 | | Autor: | meili |
Hallo Euler123,
> Hallo meili,
> Vielen Dank fÜr deine Antwort bzw. Erklärung. Wenn ich
> das jetzt so richtig verstehe müsste ich also so
> vorgehen:
> [mm]\( (\sqrt{2}-1)^{6} \)[/mm] [mm]f(x) = \( (\sqrt{x}-1)^{6} \)[/mm]
>
> Die Ableitung wäre ja:
> $ [mm]\( \begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[(\sqrt{x}-1)^{6}\right] \\ =6(\sqrt{x}-1)^{5} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[\sqrt{x}-1] \\ =6(\sqrt{x}-1)^{5}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[\sqrt{x}]+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[-1]\right) \\
=6(\sqrt{x}-1)^{5}\left(\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}+0\right) \\ =\frac{3(\sqrt{x}-1)^{5}}{\sqrt{x}}\end{array} \)[/mm]
> $
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich jetzt in [mm]k = \left| \bruch{f'(x)}{f(x)}\cdot{}x \right|[/mm]
> einsetze erhalte ich:
> [mm]k = \left| \( \frac{\frac{3(\sqrt{x}-1)^{5}}{\sqrt{x}}}{3(\sqrt{x}-1)^{6}} *x \right|[/mm]
> = [mm]\( 243\left|\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right| \)[/mm] -->
> muss ich, und wenn ja wie, dieses k jetzt noch weiter
> auswerten?
Da weis ich jetzt nicht, wie du darauf kommst.
[mm]k = \left| \bruch{f'(x)}{f(x)}\cdot{}x \right|= \left| \( \frac{\frac{3(\sqrt{x}-1)^{5}}{\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}-1)^{6}} *x \right| = \left| \bruch{3(\sqrt{x}-1)^{5}*x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^{6}} \right| = \left|\bruch{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right| [/mm]
Um jetzt das k zu berechnen, würde ich für x 2 einsetzen,
aber da bin ich mir nicht sicher, ob das so stimmt.
>
> Das gleiche mache ich dann auch noch mit:
> [mm]\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{6}}, \quad(3-2 \sqrt{2})^{3}, \quad \frac{1}{(3+2 \sqrt{2})^{3}}, \quad[/mm]
>
> [mm]99-70 \sqrt{2}, \quad \frac{1}{99+70 \sqrt{2}}[/mm]
> oder?
Ja
Gruß
meili
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