Ausdruck ohne Summenzeichen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 So 24.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=0}^{n} x^{k-1} [/mm] |
Hallo,
ich möchte obigen Ausdruck ohne Verwendung des Summenzeichens angeben. Hier mein Lösungsvorschlag:
[mm] \summe_{k=0}^{n} x^{k-1} [/mm] = [mm] x^{0-1} [/mm] + ... + [mm] x^{n} [/mm] = [mm] x^{-1} [/mm] + ... + [mm] x^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + ... + [mm] x^{n}
[/mm]
Ist das richtig so????
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo piriyaie,
> [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{k-1}[/mm]
> Hallo,
>
> ich möchte obigen Ausdruck ohne Verwendung des
> Summenzeichens angeben. Hier mein Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{k-1}[/mm] = [mm]x^{0-1}[/mm] + ... + [mm]x^{n}[/mm] = [mm]x^{-1}[/mm] +
> ... + [mm]x^{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + ... + [mm]x^{n}[/mm]
>
> Ist das richtig so????
>
Es ist doch:
[mm]\summe_{k=0}^{n} x^{k-1} = x^{0-1}[/mm] + ... + [mm]x^{n\blue{-1}}[/mm]
Wahrscheinlich ist eine geschlossene Formel gesucht.
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 So 24.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
Geschlossene Formel??? Also oberhalb der Aufgabe steht: "Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne Verwendung der Summenzeichen:"
Was für eine geschlossene Formel soll da verlangt sein???
lg
Ali
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Hallo piriyaie,
> Geschlossene Formel??? Also oberhalb der Aufgabe steht:
> "Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne Verwendung der
> Summenzeichen:"
>
> Was für eine geschlossene Formel soll da verlangt sein???
>
Nun, schreibe einmal die Summe so, wie Du die kennst auf.
Sei die Summe s, dann ist diese Summe s mit x zu multiplzieren
und von der Summe s zu subtrahieren.
> lg
> Ali
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 So 24.03.2013 | | Autor: | abakus |
> Geschlossene Formel??? Also oberhalb der Aufgabe steht:
> "Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne Verwendung der
> Summenzeichen:"
>
> Was für eine geschlossene Formel soll da verlangt sein???
>
> lg
> Ali
Hallo,
du kannst deine Summe schreiben als [mm]\frac{1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}}{x}[/mm], und für den Zähler gibt es eine bekannte Summenformel.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 24.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
Hab in meiner Frage vergessen zu schreiben [mm] x^{n-1}
[/mm]
also korrekt wäre es so:
[mm] \summe_{k=0}^{n} x^{k-1} [/mm] = [mm] x^{0-1} [/mm] + ... + [mm] x^{n-1} [/mm] = [mm] x^{-1} [/mm] + ... + [mm] x^{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + ... + [mm] x^{n-1} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] \ {0}
[mm] \summe_{k=0}^{n} x^{k-1} [/mm] = [mm] x^{0-1} [/mm] für n = 0;
Ein Ergebnis wie bei Abakus [mm] (\frac{1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}}{x}) [/mm] ist meiner Ansicht nach nicht ganz korrekt, da dies z. B. bei n=1 falsch wäre. Für n=1 würde gelten: [mm] x^{0-1} [/mm] + [mm] x^{1-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + 1
Daher würde ich zu meiner Lösung tendieren.
Was sagt ihr????
Grüße
Ali
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Hallo Ali,
> Hab in meiner Frage vergessen zu schreiben [mm]x^{n-1}[/mm]
>
> also korrekt wäre es so:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{k-1}[/mm] = [mm]x^{0-1}[/mm] + ... + [mm]x^{n-1}[/mm] = [mm]x^{-1}[/mm] + ... + [mm]x^{n-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + ... + [mm]x^{n-1}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] \ {0}
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{k-1}[/mm] = [mm]x^{0-1}[/mm] für n = 0; ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ein Ergebnis wie bei Abakus
> [mm](\frac{1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}}{x})[/mm] ist meiner Ansicht nach
> nicht ganz korrekt,
Jo, die Summe im Zähler sollte bis [mm]x^n[/mm] laufen.
> da dies z. B. bei n=1 falsch wäre.
> Für n=1 würde gelten: [mm]x^{0-1}[/mm] + [mm]x^{1-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + 1
>
> Daher würde ich zu meiner Lösung tendieren.
>
> Was sagt ihr????
Die Summe mit "Pünktchen" umzuschreiben ist sicher nicht im Sinne der Aufgabenstellung
Es ist für [mm]x\neq 0[/mm]: [mm]\sum\limits_{k=0}^{n}x^{k-1} \ = \ \frac{1}{x}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^nx^k \ \ \left(=\frac{1}{x}\cdot{}\left[1+x+x^2+...+x^n\right]\right)[/mm]
Und für [mm]\sum\limits_{k=0}^nx^k[/mm] (bzw. [mm]1+x+x^2+...+x^n[/mm]) gibt es eine allseits bekannte Formel (für [mm]x\neq 1[/mm]).
Wie ist es mit [mm]x=0[/mm]?
Da die gesuchte Formel für [mm]x=1[/mm] nicht gilt, musst du das separat betrachten.
Diese Formel sollst du hier anwenden! Das kann man schön kompakt schreiben.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 So 24.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
Danke euch. Ich denke aber nicht, dass unser Prof das so kompliziert meint. Ich nehme einfach mal meine lösung und schaue dann wieviele punkte ich drauf bekomme XD.
Wäre es Analysis würde ich an der Antwort von schachuzipus festhalten... aber es ist halt nur FiMa und ich glaub der prof will einfach sehen ob wir summieren können. und das kann ich (denke ich mal) 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 So 24.03.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Danke euch. Ich denke aber nicht, dass unser Prof das so kompliziert meint. Ich nehme einfach mal meine lösung und schaue dann wieviele punkte ich drauf bekomme XD.
Wenn du Glück hast, einen.
> Wäre es Analysis würde ich an der Antwort von schachuzipus festhalten... aber es ist halt nur FiMa und ich glaub der prof will einfach sehen ob wir summieren können. und das kann ich (denke ich mal)
Ich wette dagegen!
Sowohl gegen deine Lösungstheorie als auch gegen die Aussage, du könntest summieren.
Denn könntest du das, könntest du für die Summe eine geschlossene Form hinschreiben.
Aber es ist ja "nur" FiMa.... ist ja nicht so, dass FiMa ein weiterführender Kurs zu Analysis ist, und Analysis eine Grundvorlesung dafür ist.
Eigentlich traurig so eine Einstellung *hm*
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 So 24.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hiho,
>
> > Danke euch. Ich denke aber nicht, dass unser Prof das so
> kompliziert meint. Ich nehme einfach mal meine lösung und
> schaue dann wieviele punkte ich drauf bekomme XD.
>
> Wenn du Glück hast, einen.
dann braucht er viel Glück: Ich würde schreiben: [mm] $1/2\,$ [/mm] Punkt für das Papier und die
Tinte (wenn er etwa mit Füller schreibt).
> > Wäre es Analysis würde ich an der Antwort von
> schachuzipus festhalten... aber es ist halt nur FiMa und
> ich glaub der prof will einfach sehen ob wir summieren
> können. und das kann ich (denke ich mal)
>
> Ich wette dagegen!
> Sowohl gegen deine Lösungstheorie als auch gegen die
> Aussage, du könntest summieren.
> Denn könntest du das, könntest du für die Summe eine
> geschlossene Form hinschreiben.
Er meint mit "ich kann summieren" wohl: "Ich weiß, was das Summenzeichen
per Definitionem bedeutet ^^"
> Aber es ist ja "nur" FiMa.... ist ja nicht so, dass FiMa
> ein weiterführender Kurs zu Analysis ist, und Analysis
> eine Grundvorlesung dafür ist.
>
> Eigentlich traurig so eine Einstellung *hm*
Ich frage mich vor allem, was dagegen spricht, beides hinzuschreiben - mal ganz
unabhängig davon, "was vielleicht erwartet wird"? Dann ist man doch auf jeden
Fall auf der sicheren Seite:
[mm] $$\sum_{k=0}^n x^{k-1}=\frac{1}{x}+x^0+...+x^{n-1}=\sum_{\ell=-1}^{n-1} x^\ell=\frac{1}{x}+\sum_{\ell=0}^{n-1}x^\ell=\frac{1}{x}+\frac{1-x^n}{1-x}=\ldots$$
[/mm]
(man kann ja nun noch weiterrechnen, also Brüche Nennergleich machen etc.
pp. - wobei man natürlich $x [mm] \not=1$ [/mm] und hier auch [mm] $x\not=0$ [/mm] dazuschreiben
sollte (damit $1/x$ hingeschrieben werden kann, braucht man ja $x [mm] \not=0$!) [/mm]
- und wenn man lustig ist, kann man den einfachen Fall [mm] $x=1\,$ [/mm] auch noch
separat betrachten:
Es ist ja [mm] $\sum_{\ell=-1}^{n-1}1=(n+1)*1=n+1\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 So 24.03.2013 | | Autor: | keka |
> [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{k-1}[/mm]
> Hallo,
>
> ich möchte obigen Ausdruck ohne Verwendung des
> Summenzeichens angeben. Hier mein Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{k-1}[/mm] = [mm]x^{0-1}[/mm] + ... + [mm]x^{n}[/mm] = [mm]x^{-1}[/mm] +
> ... + [mm]x^{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + ... + [mm]x^{n}[/mm]
>
> Ist das richtig so????
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
Hallo,
einfach
[mm]\summe_{k=0}^{n} x^{k-1}[/mm] = [mm]x^{-1}[/mm] + 1 + x ... + [mm]x^{n-1}[/mm]
sollte ausreichen.
Gruß,
Keka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 So 24.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{k-1}[/mm]
> Hallo,
>
> ich möchte obigen Ausdruck ohne Verwendung des
> Summenzeichens angeben.
schreibe
[mm] $$\summe_{k=0}^{n} x^{k-1}=\frac{1}{x}+\red{\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^k}$$
[/mm]
und wende auf den roten Ausdruck die geometrische Summenformel
[mm] $$\sum_{k=0}^N q^k=\frac{1-q^{N+1}}{1-q} \;\;\;\text{ für }q \not=1$$
[/mm]
(die Formel gilt sogar für $q [mm] \in \IC \setminus \{1\}$) [/mm] an. (Zu deren Beweis: Siehe
etwa hier (klick!)!)
Gruß,
Marcel
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