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| Aufgabe | Der folgende Ausdruck soll vereinfacht werden:
z = [mm] \bruch{1+\bruch{1}{i}}{1+\bruch{1}{i^3}} [/mm] |
Hallo,
Ich versuche mal aufzuschreiben wie weit ich hier komme.
Vielleicht kann mir dann Jemand weiterhelfen.
Die erste Umformung ist klar: [mm] \bruch{1-i}{1+i}
[/mm]
Um den Ausdruck weiter zu vereinfachen habe ich die Regel zur Division angewandt:
[mm] \bruch{a1*a2+b1*b2+(b1*a2-a1*b2)*i}{a2^2+b2^2}
[/mm]
Bei mir sieht das dann so aus:
[mm] \bruch{1*1+(-i)*i+((-i)*1-1i)*i}{1^2+(-i^2)}
[/mm]
Wenn ich im Zähler zusammenzähle bekomme ich: 1+1+2 = 4
Und im Nenner: 1+1 = 2 => 4/2
= 2 Als Endergebnis.
Irgendetwas habe ich aber falsch gemacht.
Ist das überhaupt die richtige Vorgehensweise?
Grüße
Sahnepudding
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Hallo sahnepudding,
> Der folgende Ausdruck soll vereinfacht werden:
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> z = [mm]\bruch{1+\bruch{1}{i}}{1+\bruch{1}{i^3}}[/mm]
> Hallo,
> Ich versuche mal aufzuschreiben wie weit ich hier komme.
> Vielleicht kann mir dann Jemand weiterhelfen.
>
> Die erste Umformung ist klar: [mm]\bruch{1-i}{1+i}[/mm]
Passt, ich habe es in anderer Darstellung:
[mm]z=\frac{i+1}{i-1}[/mm]
>
> Um den Ausdruck weiter zu vereinfachen habe ich die Regel
> zur Division angewandt:
Ja, erweitern mit dem komplex Konjugierten des Nenners macht denselben reell, und du bekommst eine Darstellung [mm]z=x+iy[/mm]
>
> [mm]\bruch{a1*a2+b1*b2+(b1*a2-a1*b2)*i}{a2^2+b2^2}[/mm]
Ach du Heiliger, wer merkt sich denn sowas? 
>
> Bei mir sieht das dann so aus:
>
> [mm]\bruch{1*1+(-i)*i+((-i)*1-1i)*i}{1^2+(-i^2)}[/mm]
>
> Wenn ich im Zähler zusammenzähle bekomme ich: 1+1+2 = 4
> Und im Nenner: 1+1 = 2 => 4/2
> = 2 Als Endergebnis.
>
> Irgendetwas habe ich aber falsch gemacht.
> Ist das überhaupt die richtige Vorgehensweise?
Nun, in deiner Version, also bei [mm]z=\frac{1-i}{1+i}[/mm] müsstest du mit [mm]\overline{1+i}=1-i[/mm] erweitern und hättest
[mm]z=\frac{(1-i)(1-i)}{2}=\frac{\red{-}2i}{2}=\red{-}i=0\red{-}1\cdot{}i[/mm]
In meiner Version,also bei [mm]z=\frac{i+1}{i-1}[/mm] müsste man mit [mm]\overline{i-1}=-1-i[/mm] erweiternn, hätte also
[mm]z=\frac{(i+1)(-1-i)}{2}=\frac{-2i}{2}=-i=0-1\cdot{}i[/mm]
Beides gleich, sieht also stimmig aus ...
>
>
> Grüße
>
> Sahnepudding
>
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
hatte in meiner ersten Antwort etwas verdreht ...
Hab's editiert ....
Gruß
schachuzipus
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Danke für die Antwort + Verbesserung.
Jetzt habe ich es verstanden.
Grüße
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| Aufgabe | | Zu bestimmen ist: z = (1 + i)^(−5) |
Hallo,
Ich schreibe die nächste Frage hier rein, weil ich glaube, dass es auch wieder ums komplex konjugierte erweitern geht.
Den Taschenrechner soll ich, soweit ich weiß dafür nicht benutzen.
z = (1 + i)^(−5)
=> [mm] \bruch{1}{(1+i)^5} [/mm]
Eigentlich weiß ich ab dieser Stelle schon nicht mehr wie ich weiter machen könnte. Die Informationen, die ich dazu gefunden habe beziehen sich immer auf die Eulersche Form, mit der ich ohne Taschenrechner nichts anfangen kann.
Es geht aber auch anders oder?
Über einen Tipp, wie ich weitermachen soll wäre sehr froh!
Grüße
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> Zu bestimmen ist: z = (1 + i)^(−5)
> Hallo,
> Ich schreibe die nächste Frage hier rein, weil ich
> glaube, dass es auch wieder ums komplex konjugierte
> erweitern geht.
> Den Taschenrechner soll ich, soweit ich weiß dafür nicht
> benutzen.
>
> z = (1 + i)^(−5)
>
[mm] >\red{ =>}[/mm] [mm]\bruch{1}{(1+i)^5}[/mm]
Hallo,
das [mm] \red{ =>} [/mm] ist ganz furchtbar. Da muß ein Gleichheitszeichen hin.
Ja, auch hier kommst Du weiter, indem Du mit dem Komplex-Konjugierten erweiterst.
Für jedes (1+i) im Nenner erweiterst Du mit (1-i).
Was bekommst Du?
LG Angela
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Ich verstehe es immernoch nicht ganz.
Wenn ich (1+i) mit (1-i) erweitere bekomme ich " 2 " heraus bzw. [mm] 1^2 [/mm] + [mm] i^2
[/mm]
das habe ich jetzt 4-mal wiederholt, also hätte ich [mm] -\bruch{1}{8}
[/mm]
Wie bekomme ich jetzt den Imaginärteil?
Ich stell' mich gerade sehr blöd an, sorry. Aber ich sitze auch schon seit heute Mittag dran.
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Hallo,
> Ich verstehe es immernoch nicht ganz.
> Wenn ich (1+i) mit (1-i) erweitere bekomme ich " 2 "
> heraus
Ja. (1+i)*(1-i)=2.
> bzw. [mm]1^2[/mm] + [mm]i^2[/mm]
Nein. [mm] (1+i)*(1-i)\not=1+i^2.
[/mm]
>
> das habe ich jetzt 4-mal wiederholt, also hätte ich
> [mm]-\bruch{1}{8}[/mm]
Ich verstehe nicht, wie Du auf das Ergebnis kommst.
Im Nenner hast Du doch dann [mm] [(x+1)(x-1)]^5,
[/mm]
und was hast Du im Zähler gemacht?
Dir ist klar, daß man beim Erweitern in Zähler und Nenner multipliziert?
Schreib mal vollständige Gleichungen mit Gleichheitszeichen, statt Erzählungen über das, was Du rechnest. So kann man gezielter helfen.
> Wie bekomme ich jetzt den Imaginärteil?
Nun, wenn das Ergebnis wirklich wäre (!), daß [mm] \bruch{1}{(1+i)^5}=-\bruch{1}{8}, [/mm] dann wäre [mm] Re(\bruch{1}{(1+i)^5})=-\bruch{1}{8} [/mm] und [mm] Im(\bruch{1}{(1+i)^5})=0.
[/mm]
> Ich stell' mich gerade sehr blöd an, sorry. Aber ich sitze
> auch schon seit heute Mittag dran.
Dann mach doch mal 'ne Pause. Oder Schluß.
LG Angela
>
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[mm]\bruch{1}{(1+i)^5}[/mm] = [mm]\bruch{(1-i)^5}{(1+i)^5(1-i)^5}[/mm] = [mm]\bruch{(1-i)^5}{((1+i)(1-i))^5}[/mm] = [mm]\bruch{(1-i)^5}{2^5}[/mm] [mm] =\bruch{1}{8}(1-i)^5
[/mm]
Jetzt nur noch die Potenz berechnen.
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