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| Aufgabe | a) Drücken Sie A [mm] \setminus [/mm] B mit Hilfe A und [mm] \overline{B} [/mm] aus.
b) Drücken Sie [mm] (\bigcup_{k=1}^{m} A_{k}) \setminus (\bigcup_{l=1}^{n} B_{l}) [/mm] sowie [mm] (\bigcap_{k=1}^{m} A_{k}) \setminus (\bigcap_{l=1}^{n} B_{l}) [/mm] mit Hilfe der Einzeldifferenzen [mm] A_{k} \setminus B_{l}, [/mm] k=1, ... , m, l=1, ... , n, aus. |
Irgendwie stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch.
Könnte mir jemand eventuell bitte einen Hinweis geben, was ich machen muss?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mo 21.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> a) Drücken Sie A [mm]\setminus[/mm] B mit Hilfe A und [mm]\overline{B}[/mm]
> aus.
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> b) Drücken Sie [mm](\bigcup_{k=1}^{m} A_{k}) \setminus (\bigcup_{l=1}^{n} B_{l})[/mm]
> sowie [mm](\bigcap_{k=1}^{m} A_{k}) \setminus (\bigcap_{l=1}^{n} B_{l})[/mm]
> mit Hilfe der Einzeldifferenzen [mm]A_{k} \setminus B_{l},[/mm] k=1,
> ... , m, l=1, ... , n, aus.
> Irgendwie stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch.
> Könnte mir jemand eventuell bitte einen Hinweis geben,
> was ich machen muss?
Ich zeig Dir mal a)
Gehen wir davon aus, dass eine Grundmenge M gegeben ist und dass A und B Teilmengen von M sind.
Ich vermute, dass mit [mm] \overline{B} [/mm] das Komplement von B in M gemeint ist, also $ [mm] \overline{B}=M \setminus [/mm] B$
Wenn ja, so ist
$A [mm] \setminus [/mm] B= A [mm] \cap \overline{B}$
[/mm]
FRED
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> Vielen Dank im Voraus!
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Ok, hätte nicht gedacht, dass das so einfach sein soll. Deswegen war ich auch so unschlüssig, was ich da tun soll.
Also würde b) so aussehen?
[mm] (\bigcup_{k=1}^{m} A_{k}) \setminus (\bigcup_{l=1}^{n} B_{l}) [/mm] = [mm] A_{k} \setminus B_{l} [/mm] = [mm] (A_{1} \cup A_{2} \cup [/mm] ... [mm] \cup A_{m}) \setminus (B_{1} \cup B_{2} \cup [/mm] ... [mm] \cup B_{l})
[/mm]
[mm] (\bigcap_{k=1}^{m} A_{k}) \setminus (\bigcap_{l=1}^{n} B_{l}) [/mm] = [mm] A_{k} \setminus B_{l} [/mm] = [mm] (A_{1} \cap A_{2} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{m}) \setminus (B_{1} \cap B_{2} \cap [/mm] ... [mm] \cap B_{l})
[/mm]
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo fireangel187!
> Also würde b) so aussehen?
>
> [mm](\bigcup_{k=1}^{m} A_{k}) \setminus (\bigcup_{l=1}^{n} B_{l})[/mm]
> = [mm]A_{k} \setminus B_{l}[/mm] = [mm](A_{1} \cup A_{2} \cup[/mm] ... [mm]\cup A_{m}) \setminus (B_{1} \cup B_{2} \cup[/mm]
> ... [mm]\cup B_{l})[/mm]
>
> [mm](\bigcap_{k=1}^{m} A_{k}) \setminus (\bigcap_{l=1}^{n} B_{l})[/mm]
> = [mm]A_{k} \setminus B_{l}[/mm] = [mm](A_{1} \cap A_{2} \cap[/mm] ... [mm]\cap A_{m}) \setminus (B_{1} \cap B_{2} \cap[/mm]
> ... [mm]\cap B_{l})[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Nein.
Falls alle [mm] $A_k$ [/mm] und [mm] $B_l$ [/mm] Teilmenge einer gemeinsamen Grundmenge $M$ sind und $k,l>0$ gilt, kannst du gemäß a) mit
[mm] $(\bigcup_{k=1}^{m} A_{k}) \setminus (\bigcup_{l=1}^{n} B_{l})=(\bigcup_{k=1}^mA_k)\cap\overline{\bigcup_{l=1}^nB_l}=\ldots$
[/mm]
starten.
Dann kannst du u.a. eine DeMorgansche Regel und ein Distributivgesetz für Mengen anwenden.
Viele Grüße
Tobias
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Meinst du das in etwa so?
[mm] (\bigcup_{k=1}^{m} A_{k}) \setminus (\bigcup_{l=1}^{n} B_{l}) [/mm] = [mm] (\bigcup_{k=1}^{m} A_{k}) \cap \overline{\bigcup_{l=1}^{n} B_{l}}=(A_{1} \cup A_{2} \cup [/mm] ... [mm] \cup A_{k}) \cap (B_{1} \cup B_{2} \cup [/mm] ... [mm] \cup B_{l}) [/mm] = [mm] (A_{1} \cap B_{1}) \cup (A_{2} \cap B_{2}) \cup [/mm] ... [mm] \cup (A_{k} \cap B_{l})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Meinst du das in etwa so?
>
> [mm](\bigcup_{k=1}^{m} A_{k}) \setminus (\bigcup_{l=1}^{n} B_{l})[/mm]
> = [mm](\bigcup_{k=1}^{m} A_{k}) \cap \overline{\bigcup_{l=1}^{n} B_{l}}=(A_{1} \cup A_{2} \cup[/mm]
> ... [mm]\cup A_{k}) \cap (B_{1} \cup B_{2} \cup[/mm] ... [mm]\cup B_{l})[/mm]
Du hast offenbar den Strich über [mm] $\bigcup_{l=1}^{n} B_{l}$ [/mm] übersehen.
Er steht für das Komplement dieser Menge in der Grundmenge $M$.
Außerdem müsste es rechts vom rechten Gleichheitszeichen $m$ bzw. $n$ statt $k$ bzw. $l$ heißen.
> = [mm](A_{1} \cap B_{1}) \cup (A_{2} \cap B_{2}) \cup[/mm] ... [mm]\cup (A_{k} \cap B_{l})[/mm]
Das stimmt überhaupt nicht.
Du könntest z.B. unter Verwendung eines Distributivgesetzes für Mengen mit
[mm] $(\bigcup_{k=1}^{m} A_{k}) \setminus (\bigcup_{l=1}^{n} B_{l})=(\bigcup_{k=1}^{m} A_{k}) \cap \overline{\bigcup_{l=1}^{n} B_{l}}=\bigcup_{k=1}^m(A_k\cap\overline{\bigcup_{l=1}^nB_l})=\ldots$
[/mm]
starten.
Jetzt eine DeMorgansche Regel anwenden.
Ziel ist, Ausdrücke der Form [mm] $A_k\setminus B_l$ [/mm] zu erhalten.
Nach a) gilt [mm] $A_k\setminus B_l=A_k\cap\overline{B_l}$.
[/mm]
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