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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Di 08.10.2013 | | Autor: | barneyc |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
arg [mm] (z_{1} z_{2}) [/mm] = arg [mm] (z_{1}) [/mm] + arg [mm] (z_{2}) [/mm] + 2 [mm] \pi [/mm] k für ein k [mm] \in \IZ [/mm] |
Hallo,
sorry, dass ich gleich nochmal eine Frage stellen muss, aber die zwei Fragen beschäftigen mich schon seit heute Mittag :(
Ich bin soweit:
arg ( [mm] |z_{1}| e^{i arg (z_{1})} |z_{2}| e^{i arg (z_{2})} [/mm] ) = arg ( [mm] |z_{1} z_{2}| e^{i ( arg (z_{1}) + arg (z_{2}) ) })
[/mm]
Weiter komm ich nicht mehr.
Wäre dankbar um einen kurzen Tipp
mit freundlichen Grüßen und vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Di 08.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie:
> arg [mm](z_{1} z_{2})[/mm] = arg [mm](z_{1})[/mm] + arg [mm](z_{2})[/mm] + 2 [mm]\pi[/mm] k
> für ein k [mm]\in \IZ[/mm]
> Hallo,
>
> sorry, dass ich gleich nochmal eine Frage stellen muss,
> aber die zwei Fragen beschäftigen mich schon seit heute
> Mittag :(
>
> Ich bin soweit:
>
> arg ( [mm]|z_{1}| e^{i arg (z_{1})} |z_{2}| e^{i arg (z_{2})}[/mm] )
> = arg ( [mm]|z_{1} z_{2}| e^{i ( arg (z_{1}) + arg (z_{2}) ) })[/mm]
>
> Weiter komm ich nicht mehr.
> Wäre dankbar um einen kurzen Tipp
>
> mit freundlichen Grüßen und vielen Dank im Voraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
aus [mm]z_1=r_1*(cos\phi_1+i*sin\phi_1)[/mm]
und [mm]z_2=r_2*(cos\phi_2+i*sin\phi_2)[/mm]
folgt
[mm]z_1*z_2=r_1*r_2*(cos\phi_1+i*sin\phi_1)*(cos\phi_2+i*sin\phi_2)[/mm]
[mm]=r_1*r_2*(cos\phi_1*cos\phi_2-sin\phi_1*sin\phi_2)+i*(cos\phi_1*sin\phi_2+sin\phi_1*cos\phi_2)[/mm],
und nach den Additionstheoremen für cos bzw. sin ist das
[mm] $r_1*r_2*(cos(\phi_1+\phi_2)+i*sin(\phi_1+\phi_2))$.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Di 08.10.2013 | | Autor: | barneyc |
Hallo Abakus,
vielen Dank für deine Antwort. Wieso formst du alles in die Sinus-Kosinus Schreibweise um?
Etwa weil du dann den Ausdruck oben in die E-Funktion und den vorderen Teil einsetzen kannst?
So in etwa hab ichs jetzt:
arg (z) = arccos [mm] (\bruch{x}{r})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] arg [mm] (z_{1} z_{2}) [/mm] = arccos( [mm] \bruch{cos(\beta_{1} + \beta_{2})}{\wurzel{cos(\beta_{1} + \beta_{2})^{2}+sin(\beta_{1} + \beta_{2})^{2}}} [/mm] ) = [mm] \beta_{1} [/mm] + [mm] \beta_{2} [/mm] = arg [mm] (z_{1}) [/mm] + arg [mm] (z_{2}) [/mm] +2 [mm] \pi [/mm] k
Fällt [mm] r_{1} r_{2} [/mm] wirklich weg?
vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Di 08.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
>
> vielen Dank für deine Antwort. Wieso formst du alles in
> die Sinus-Kosinus Schreibweise um?
Weil es dafür Additionstheoreme gibt.
> Etwa weil du dann den Ausdruck oben in die E-Funktion und
> den vorderen Teil einsetzen kannst?
>
> So in etwa hab ichs jetzt:
>
> arg (z) = arccos [mm](\bruch{x}{r})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] arg [mm](z_{1} z_{2})[/mm] = arccos(
> [mm]\bruch{cos(\beta_{1} + \beta_{2})}{\wurzel{cos(\beta_{1} + \beta_{2})^{2}+sin(\beta_{1} + \beta_{2})^{2}}}[/mm]
> ) = [mm]\beta_{1}[/mm] + [mm]%5Cbeta_%7B2%7D[/mm] = arg [mm](z_{1})[/mm] + arg [mm](z_{2})[/mm] +2
> [mm]\pi[/mm] k
>
> Fällt [mm]r_{1} r_{2}[/mm] wirklich weg?
Das [mm] $r_1r_2$ [/mm] ist der BETRAG des Produkts (und hat mit dem Argument nichts zu tun).
>
> vielen Dank im Voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 08.10.2013 | | Autor: | barneyc |
Danke für die Antwort.
Dachte in der Definition des Arguments zu arg = arccos ( [mm] \bruch{x}{r} [/mm] ) wäre der Betrag enthalten, da ja r = |z|?
Was verstehe ich da falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Di 08.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Danke für die Antwort.
> Dachte in der Definition des Arguments zu arg = arccos (
> [mm]\bruch{x}{r}[/mm] ) wäre der Betrag enthalten, da ja r = |z|?
> Was verstehe ich da falsch?
In x ist der Betrag auch enthalten, weil x=r*cos[mm]\phi[/mm] gilt.
Damit kürzt sich das r, und deine Gleichung wird zu arg(z)=arccos(cos [mm]\phi[/mm]) .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Di 08.10.2013 | | Autor: | barneyc |
Super erklärt, jetzt hab ichs verstanden :)
Vielen Dank :)
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