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Aussage formalisieren: erste Teilaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Do 06.02.2014
Autor: pc_doctor

Aufgabe
7a)
Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, also natürliche Zahlen p , so dass p und p+2 Primzahlen sind.
Schreibe eine quantifizierte Formel G für die Aussage.

Hallo,

als Tipp wurde uns mitgegeben , dass wir zuerst eine Formel für "Primzahl" schreiben sollen.

Ich weiß leider nicht , wie ich unendlich viele Primzahlenzwillinge als Formel (mit Quantoren etc ) ausdrücken soll. Was sein kann ist , dass man diese "Zwillinge" vielleicht in der Formel als Tupel (a,b) aufschreiben kann.
Bitte um Hilfe.

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Aussage formalisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:20 Do 06.02.2014
Autor: steppenhahn

Hallo,

> 7a)
>  Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, also
> natürliche Zahlen p , so dass p und p+2 Primzahlen sind.
>  Schreibe eine quantifizierte Formel G für die Aussage.



> als Tipp wurde uns mitgegeben , dass wir zuerst eine Formel
> für "Primzahl" schreiben sollen.


Dann mach das doch erstmal.
Wann ist eine natürlich Zahl $p$ eine Primzahl? Die einzigen Teiler dieser Zahl müssen 1 und $p$ sein.

Formal also:

$p$ Primzahl [mm] $\gdw$ [/mm] Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt: Aus $n$ teilt $p$ folgt $n = 1$ oder $n = p$.

Kannst du das mit Quantoren schreiben?


> Ich weiß leider nicht , wie ich unendlich viele
> Primzahlenzwillinge als Formel (mit Quantoren etc )
> ausdrücken soll. Was sein kann ist , dass man diese
> "Zwillinge" vielleicht in der Formel als Tupel (a,b)
> aufschreiben kann.


Nein, darum geht es nicht.

Das schwierige ist, das "unendlich oft" einzubauen.
Dafür benutzt man folgenden "Trick":


Für jede natürliche Zahl $n$ gibt es eine Primzahl $p > n$, so dass $p$ und $p+2$ Primzahlen sind.

Kannst du diese Aussage mit Quantoren und dem oben schon definierten Operator $Primzahl(p)$ schreiben?



Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Aussage formalisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 So 09.02.2014
Autor: pc_doctor

Hallo,
sorry für die späte Antwort.
ALso ich habs mal probiert:


>  
> [mm]p[/mm] Primzahl [mm]\gdw[/mm] Für alle natürlichen Zahlen [mm]n[/mm] gilt: Aus [mm]n[/mm]
> teilt [mm]p[/mm] folgt [mm]n = 1[/mm] oder [mm]n = p[/mm].
>  
> Kannst du das mit Quantoren schreiben?


p = Primzahl


Prim: [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : p|n -> n=1 [mm] \vee [/mm] n = p







> Das schwierige ist, das "unendlich oft" einzubauen.
>  Dafür benutzt man folgenden "Trick":
>  
>
> Für jede natürliche Zahl [mm]n[/mm] gibt es eine Primzahl [mm]p > n[/mm],
> so dass [mm]p[/mm] und [mm]p+2[/mm] Primzahlen sind.
>  
> Kannst du diese Aussage mit Quantoren und dem oben schon
> definierten Operator [mm]Primzahl(p)[/mm] schreiben?


Bin mir wegen dem [mm] \exists [/mm] nicht so sicher..
[mm] \exists [/mm]  n [mm] \in [/mm] Prim p > n, p [mm] \in [/mm] Prim [mm] \wedge [/mm] (p+2) [mm] \in [/mm] Prim



Danke schon mal für die Hilfe.

Bezug
                        
Bezug
Aussage formalisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 Di 11.02.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Hallo,
> sorry für die späte Antwort.
> ALso ich habs mal probiert:

>
>

> >
> > [mm]p[/mm] Primzahl [mm]\gdw[/mm] Für alle natürlichen Zahlen [mm]n[/mm] gilt: Aus [mm]n[/mm]
> > teilt [mm]p[/mm] folgt [mm]n = 1[/mm] oder [mm]n = p[/mm].
> >
> > Kannst du das mit Quantoren schreiben?

>
>

> p = Primzahl

>
>

> Prim: [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : p|n -> n=1 [mm]\vee[/mm] n = p

Da hast du das Teilen verdreht, es muss natürlich [mm]n\mid p[/mm] lauten. Ansonsten ist das richtig

>
>
>
>
>
>
>

> > Das schwierige ist, das "unendlich oft" einzubauen.
> > Dafür benutzt man folgenden "Trick":
> >
> >
> > Für jede natürliche Zahl [mm]n[/mm] gibt es eine Primzahl [mm]p > n[/mm],
> > so dass [mm]p[/mm] und [mm]p+2[/mm] Primzahlen sind.
> >
> > Kannst du diese Aussage mit Quantoren und dem oben schon
> > definierten Operator [mm]Primzahl(p)[/mm] schreiben?

>
>

> Bin mir wegen dem [mm]\exists[/mm] nicht so sicher..
> [mm]\exists[/mm] n [mm]\in[/mm] Prim p > n, p [mm]\in[/mm] Prim [mm]\wedge[/mm] (p+2) [mm]\in[/mm] Prim

Das ist schon ganz gut, aber Stefan hat es doch schon schön verbal vorformuliert:

"Für jede nat. Zahl n gibt es eine nat. Zahl p mit [mm]p>n[/mm] und [mm]p,p+2[/mm] prim, also

[mm]\forall n\in\IN \ \exists p\in\IN \ : \ p>n \ \wedge \ p\in Prim \ \wedge \ p+2\in Prim[/mm]

Wobei du nicht genau schreibst, was denn $Prim$ ist ...

Du benutzt es hier als Menge, oben definierst du es durch die Formel ...

Das solltest du genauer machen, oder das von Stefan vorgeschlagene $Primzahl(p)$ verwenden ...


>
>
>

> Danke schon mal für die Hilfe.

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Aussage formalisieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:39 Di 11.02.2014
Autor: pc_doctor

Hallo,
vielen Dank für die Antwort.

Ich habs verbessert und genauer beschrieben, was Prim sein soll.

Danke nochmals.

Bezug
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