Aussage über Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und U ein Unterraum von V, beweisen Sie folgende Aussage:
[mm] \left| U \right| < \infty => U={0_v } oder \left| K \right| < \infty [/mm]
Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass die Umkehrung der Aussage falsch ist |
Hallo,
ich scheitere leider schon daran, dass mir die Aussage nicht ganz klar ist =(. Kann mir das jemand erklären oder hat dafür jemand ein Beispiel?
Wie beweise ich das?
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nun, K ist ein Körper, V ein K-Vektorraum, U ein V-Unterraum.
Die Begriffe sind hoffentlich klar (wenn nein, Skript/Buch/was auch immer konsultieren ;) )
Die Aussage, die du zeigen musst, besagt:
Ist die Mächtigkeit von U kleiner unendlich - das heißt U beinhaltet nur endlich viele Elemente - dann ist U entweder der 0-Raum (also U beinhaltet nur die 0) oder aber K hat nur endlich viele Elemente.
Wenn du bedenkst, dass U additiv und (skalar)multiplikativ abgeschlossen sein muss dürfte eigendlich recht klar sein wieso das gelten muss.
Ein Beispiel dafür fällt mir gerade nicht ein, zumindest keins mit dem ich dir nicht den gesamten Beweis verraten würde.^^
Aber ich würde dir empfehlen die Implikation umzudrehen.
Also die Aussage die da steht ist ja absolut äquivalent zur Aussage: Ist U nicht der 0-Raum und ist die Mächtigkeit von K unendlich so muss auch U unendlich groß sein.
Das dürfte eigendlich nicht all zu schwer zu zeigen sein. ;)
Gegenbeispiele für die andere Richtung gibt es auch einige - mir würde spontan der Polynomring einfallen, aber ich hab das noch nicht alles nachgeprüft also müsstest du - falls du kein schöneres Gegenbeispiel findest - natürlich noch eindeutig belegen DASS der Polynomring ein Gegenbeispiel ist.
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