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| Aufgabe | Sei [mm] $X\subset [/mm] M$. Sind die folgenden Aussagen äquivalent?
[mm] $x\in X\Rightarrow [/mm] E(x)$
[mm] $\forall x\in [/mm] X:E(x)$
[mm] $X=\{x\in M:E(x)\}$ [/mm] |
Liebes Forum,
dies ist keine wirkliche Aufgabe, sondern nur eine Frage, die ich mir stelle. Intuitiv würde ich sagen ja, aber wie kann ich das begründen?
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Fr 09.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Mathematik-Liebhaber,
> Sei [mm]X\subset M[/mm]. Sind die folgenden Aussagen äquivalent?
> [mm]x\in X\Rightarrow E(x)[/mm]
> [mm]\forall x\in X:E(x)[/mm]
> [mm]X=\{x\in M:E(x)\}[/mm]
>
> Liebes Forum,
>
> dies ist keine wirkliche Aufgabe, sondern nur eine Frage,
> die ich mir stelle. Intuitiv würde ich sagen ja, aber wie
> kann ich das begründen?
Gar nicht. Die dritte Aussage ist nämlich im allgemeinen nicht zu den ersten beiden äquivalent. Gegenbeispiel: X={2}, M={1, 2, 3, 4} und E(x) = "x ist gerade". Dann sind die ersten beiden Aussagen wahr, aber nicht die dritte.
Gruß,
Wolfgang
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Lieber Helbig,
dann habe ich weiterhin die Frage, warum 1. und 2. und evtl. das neue 3. gleich sind. Könnte ich 3. abändern zu [mm] $X\subset\{x\in M:E(x)\}$, [/mm] also [mm] $\forall x\in [/mm] X: [mm] x\in\{x\in M: E(x)\}$?
[/mm]
Oder muss ich für Hilfe bei der Begründung die ganzen exakten Definitionen aus meinem Buch abtippen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Do 15.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Mathematik-Liebhaber,
>
> dann habe ich weiterhin die Frage, warum 1. und 2. und
> evtl. das neue 3. gleich sind. Könnte ich 3. abändern zu
> [mm]X\subset\{x\in M:E(x)\}[/mm], also [mm]\forall x\in X: x\in\{x\in M: E(x)\}[/mm]?
>
> Oder muss ich für Hilfe bei der Begründung die ganzen
> exakten Definitionen aus meinem Buch abtippen?
Nein. Ich weiß zwar nicht, welches Buch Du verwendest, aber es müßte mindestens eine axiomatische Mengenlehre enthalten und die Schlußregeln der formalen Logik, und würde damit weit über das Ziel hinausschießen, denn im Gegensatz zu einem weit verbreiteten Mythos ist die Mathematik überhaupt nicht so exakt, wie sie sich gerne gibt.
Bekanntlich führt die von Cantor begründete Mengenlehre zu Widersprüchen, wird aber dennoch in weiten Teilen der Mathematik bedenkenlos verwendet.
Es reicht für die Beweise vollständig aus, wenn Du deutsch verstehst, das heißt, wenn Du weißt, was ein Bedingungssatz bedeutet, was eine Voraussetzung und was eine Behauptung ist. Man könnte die gesamte Mathematik völlig ohne logische und mathematische Formeln in einer natürlichen Sprache darstellen, und gerade Anfänger sollten sich durch die Verwendung logischer Symbole nicht bluffen lassen.
Nach dieser Vorrede: Warum sind 1. und 2. gleichwertige Aussagen? Die erste Aussage heißt auf deutsch:
Ist x ein Element der Menge X, so hat x die Eigenschaft E.
Die zweite:
Jedes Element der Menge X hat die Eigenschaft E.
Beide Aussagen sind offensichtlich gleichwertig, das heißt, die eine ist genau dann wahr, wenn die andere wahr ist. Dieses "offensichtlich" kann ich nur mit der Bedeutung der deutschen Sprache begründen.
Jetzt kommen wir zur neuen dritten Aussage:
Als Voraussetzung, die nicht Teil der dritten Aussage ist, haben wir:
Jedes Element der Menge X ist auch ein Element der Menge M [mm] (X$\subseteq$M).
[/mm]
Damit lautet die dritte Aussage:
Jedes Element der Menge X ist ein Element der Menge M und hat die Eigenschaft E [mm] $(X\subseteq\{ x \in M : E(x)\})\,.$
[/mm]
Wegen der globalen Voraussetzung ist 3. gleichwertig zu:
Jedes Element der Menge X hat die Eigenschaft E.
Damit ist 3. gleichwertig zu jeder der ersten beiden Aussagen.
Wir haben es hier übrigens nicht mit der Aussagenlogik sondern mit der Prädikatenlogik zu tun.
Gruß,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:45 Fr 16.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mathematik-Liebhaber,
> Sei [mm]X\subset M[/mm]. Sind die folgenden Aussagen äquivalent?
> (i) [mm]x\in X\Rightarrow E(x)[/mm]
> (ii) [mm]\forall x\in X:E(x)[/mm]
> (iii) [mm]X\subset\{x\in M:E(x)\}[/mm]
Aussage (i) ist ohne geeignete Interpretation gar keine Aussage, da nicht klar ist, was x sein soll. Gemeint ist offenbar:
(i') [mm] $\forall x\in M\colon (x\in X\Rightarrow [/mm] E(x))$.
Beweisen wir nun die Äquivalenz von (i'), (ii) und (iii) per Ringschluss (i')=>(ii)=>(iii)=>(i'):
(i')=>(ii): Gelte (i'). Zu zeigen ist (ii).
Sei also [mm] $x\in [/mm] X$. Zu zeigen ist $E(x)$.
Wegen [mm] $X\subseteq [/mm] M$ gilt [mm] $x\in [/mm] M$, also gilt nach (i') die Aussage [mm] $x\in X\Rightarrow [/mm] E(x)$. Wegen [mm] $x\in [/mm] X$ folgt $E(x)$.
(ii)=>(iii): Gelte (ii). Zu zeigen ist (iii).
Sei also [mm] $x\in [/mm] X$. Zu zeigen ist [mm] $x\in\{x\in M\;|\;E(x)\}$.
[/mm]
Nach (ii) gilt E(x) und wegen [mm] $X\subseteq [/mm] M$ gilt [mm] $x\in [/mm] M$. Also tatsächlich [mm] $x\in\{x\in M\;|\;E(x)\}$.
[/mm]
(iii)=>(i'): Gelte (iii). Zu zeigen ist (i').
Sei also [mm] $x\in [/mm] M$. Zu zeigen ist [mm] $x\in X\Rightarrow [/mm] E(x)$.
Gelte also [mm] $x\in [/mm] X$. Zu zeigen ist $E(x)$.
Nach (iii) ist [mm] $x\in\{x\in M\;|\;E(x)\}$. [/mm] Also gilt $E(x)$.
Viele Grüße
Tobias
P.S.: Falls du dich allgemeiner für die angewendeten Beweismethoden interessierst: In meiner  Beweis-Anleitung sind alle aufgeführt, die ich hier verwendet habe.
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> Hallo Mathematik-Liebhaber,
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> > Sei [mm]X\subset M[/mm]. Sind die folgenden Aussagen äquivalent?
> > (i) [mm]x\in X\Rightarrow E(x)[/mm]
> > (ii) [mm]\forall x\in X:E(x)[/mm]
>
> > (iii) [mm]X\subset\{x\in M:E(x)\}[/mm]
> Aussage (i) ist ohne
> geeignete Interpretation gar keine Aussage, da nicht klar
> ist, was x sein soll. Gemeint ist offenbar:
>
> (i') [mm]\forall x\in M\colon (x\in X\Rightarrow E(x))[/mm].
>
>
> Beweisen wir nun die Äquivalenz von (i'), (ii) und (iii)
> per Ringschluss (i')=>(ii)=>(iii)=>(i'):
>
> (i')=>(ii): Gelte (i'). Zu zeigen ist (ii).
>
> Sei also [mm]x\in X[/mm]. Zu zeigen ist [mm]E(x)[/mm].
>
> Wegen [mm]X\subseteq M[/mm] gilt [mm]x\in M[/mm], also gilt nach (i') die
> Aussage [mm]x\in X\Rightarrow E(x)[/mm]. Wegen [mm]x\in X[/mm] folgt [mm]E(x)[/mm].
>
> (ii)=>(iii): Gelte (ii). Zu zeigen ist (iii).
>
> Sei also [mm]x\in X[/mm]. Zu zeigen ist [mm]x\in\{x\in M\;|\;E(x)\}[/mm].
>
> Nach (ii) gilt E(x) und wegen [mm]X\subseteq M[/mm] gilt [mm]x\in M[/mm].
> Also tatsächlich [mm]x\in\{x\in M\;|\;E(x)\}[/mm].
>
> (iii)=>(i'): Gelte (iii). Zu zeigen ist (i').
>
> Sei also [mm]x\in M[/mm]. Zu zeigen ist [mm]x\in X\Rightarrow E(x)[/mm].
>
> Gelte also [mm]x\in X[/mm]. Zu zeigen ist [mm]E(x)[/mm].
>
> Nach (iii) ist [mm]x\in\{x\in M\;|\;E(x)\}[/mm]. Also gilt [mm]E(x)[/mm].
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
>
>
> P.S.: Falls du dich allgemeiner für die angewendeten
> Beweismethoden interessierst: In meiner
> Beweis-Anleitung sind
> alle aufgeführt, die ich hier verwendet habe.
Hallo, tobit09,
mir ist jetzt Vieles klarer. An sich scheint der Beweis trivial, aber mir ist im Moment selten klar, was für "offensichtlich" ist und was nur offensichtlich scheint und eigentlich näher begründet werden muss.
Ich habe mir deine Anleitung angesehen, ich glaube, dass sie vielen Mathe-Anfängern gut weiterhilft.
Vielen Dank für die Mühe
und Liebe Gürße,
Mathe-Liebhaber
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> mir ist jetzt Vieles klarer. An sich scheint der Beweis
> trivial,
Das ist auch gut so. Da stecken nämlich auch keine besonderen Ideen hinter.
> aber mir ist im Moment selten klar, was für
> "offensichtlich" ist und was nur offensichtlich scheint und
> eigentlich näher begründet werden muss.
Das ist auch ein Stück weit Geschmackssache! Andere User haben hier an deinen "gesunden Menschenverstand" appeliert, ich habe formal bewiesen. Je nach Niveau, auf dem man Mathematik betreibt, sind beide Vorgehensweisen üblich. Als Studienanfänger wird von dir genaueres Beweisen erwartet als beispielsweise von Professoren in ihren Papern.
> Ich habe mir deine Anleitung angesehen, ich glaube, dass
> sie vielen Mathe-Anfängern gut weiterhilft.
Vielen Dank, das freut mich! 
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