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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Aussagen
Aussagen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aussagen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:20 Mi 14.06.2017
Autor: knowhow

Aufgabe
Seien [mm] X_1, X_2,... [/mm] i.id. reelle Zufallsvariablen mit [mm] X_1 [/mm] gleichverteilt auf [mm] \{1,...,k\} [/mm] für ein fest vorgegebens [mm] k\in \IN, [/mm] k ge 2. Welche AUssagen stimmen?

(i) [mm] P(X_1-X_2=0)=1 [/mm]

(ii) [mm] P(X_1\le X_k)=E(X_1)/k [/mm]

(iii) [mm] E(cos(X_1))=E(cos(X_2)) [/mm]

Hallo,

Aussage (i) falsch.

Nun ist meine Frage, warum diese Aussage falsch ist.

Wir haben [mm] P(X_1-X_2=0) \gdw P(X_1=X_2) [/mm] also [mm] X_1=X_2 [/mm]

aber was sagt es mir aus?

Aussage (ii) falsch.



Ich habe erstmal [mm] E(X_1) [/mm] ausgerechnet, also [mm] E(X_1)=\bruch{k+1}{2} [/mm]

Dann ist [mm] \bruch{1}{k}E(X_1)=\bruch{1}{k}*\bruch{k+1}{2} [/mm]

Und es sei [mm] P(X_1\le X_k)=1/k [/mm] , aber warum?

zu (iii)

Wie berechnet man das?

Habe [mm] E(X_1)=\summe_{i=1}^k cos(x_i)P(x_i) [/mm]

Wie mache ich weiter?


        
Bezug
Aussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:37 Mi 14.06.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Seien [mm]X_1, X_2,...[/mm] i.id. reelle Zufallsvariablen mit [mm]X_1[/mm]
> gleichverteilt auf [mm]\{1,...,k\}[/mm] für ein fest vorgegebens
> [mm]k\in \IN,[/mm] k ge 2. Welche AUssagen stimmen?

>

> (i) [mm]P(X_1-X_2=0)=1[/mm]

>

> (ii) [mm]P(X_1\le X_k)=E(X_1)/k[/mm]

>

> (iii) [mm]E(cos(X_1))=E(cos(X_2))[/mm]
> Hallo,

>

> Aussage (i) falsch.

>

> Nun ist meine Frage, warum diese Aussage falsch ist.

>

> Wir haben [mm]P(X_1-X_2=0) \gdw P(X_1=X_2)[/mm] also [mm]X_1=X_2[/mm]

>

> aber was sagt es mir aus?

Die ZVen sind unabhängig. Die Behauptung würde aber das Gegenteil implizieren, denn die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] den gleichen Wert annehmen, soll ja laut Aussage 1 sein, was eben bedeuten würde, dass generell [mm] X_1=X_2 [/mm] ist.

>

> Aussage (ii) falsch.

>
>
>

> Ich habe erstmal [mm]E(X_1)[/mm] ausgerechnet, also
> [mm]E(X_1)=\bruch{k+1}{2}[/mm]

>

> Dann ist [mm]\bruch{1}{k}E(X_1)=\bruch{1}{k}*\bruch{k+1}{2}[/mm]

>

> Und es sei [mm]P(X_1\le X_k)=1/k[/mm] , aber warum?

>

Wenn du mal alle möglichen Fälle für [mm] X_k [/mm] durchspielst und dir die jeweilige Wahrscheinlichkeit für [mm] X_1\le{X_k} [/mm] betrachtest, so kommst du mit Hilfe der Gaußschen Summenformel darauf, dass Aussage (ii) wahr ist.

> zu (iii)

>

> Wie berechnet man das?

>

> Habe [mm]E(X_1)=\summe_{i=1}^k cos(x_i)P(x_i)[/mm]

>

> Wie mache ich weiter?

[mm] P(x_i)=\frac{1}{k} [/mm] und das Argument der Kosinusfunktion ist [mm] x_i=i. [/mm]


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Aussagen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 Mi 14.06.2017
Autor: knowhow

Hallo,

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ich habe eine Frage zu (ii)

Warum soll die Aussage wahr sein?

für den [mm] E(X_1) [/mm] bekomme ich mit Gaußschen Summenformel:

[mm] E(X_1)=\summe_{i=1}^k iP(X_1=i) [/mm]

und da [mm] X_1 [/mm] gleichverteilt ist müsste gelten: [mm] P(X_1=i)=1/k [/mm]

Also bekommen wir
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{k}\summe_{i=1}^k [/mm] i= [mm] \bruch{1}{k}\bruch{k+1}{2}=\bruch{k+1}{2} [/mm]

[mm] \Rightarrow \bruch{1}{k}E(X_1)=\bruch{1}{k}\bruch{k+1}{2} [/mm]

nun frage ich mich warum [mm] P(X_1\le X_k)=1/k [/mm] geltn soll bzw. falsch ist?

zu (iii)

dann müsste es heißen, dass

[mm] E(cos(X_1))=\bruch{1}{k}\summe_{i=1}^k [/mm] cos(i)

und [mm] E(cos(X_2))=cos(X_2)P(X_2) [/mm]

Ich komme da leider nicht weiter bzw. ist diese Aussage falsch?

Bezug
                        
Bezug
Aussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:06 Mi 14.06.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> vielen Dank für die schnelle Antwort.

>

> Ich habe eine Frage zu (ii)

>

> Warum soll die Aussage wahr sein?

>

> für den [mm]E(X_1)[/mm] bekomme ich mit Gaußschen Summenformel:

>

> [mm]E(X_1)=\summe_{i=1}^k iP(X_1=i)[/mm]

>

> und da [mm]X_1[/mm] gleichverteilt ist müsste gelten: [mm]P(X_1=i)=1/k[/mm]

>

> Also bekommen wir
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{k}\summe_{i=1}^k[/mm] i=
> [mm]\bruch{1}{k}\bruch{k+1}{2}=\bruch{k+1}{2}[/mm]

>

Bis hierher passt das ja auch.


> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{k}E(X_1)=\bruch{1}{k}\bruch{k+1}{2}[/mm]

>

> nun frage ich mich warum [mm]P(X_1\le X_k)=1/k[/mm] geltn soll bzw.
> falsch ist?

>

Was jetzt,

[mm] P(X_1\le{X_k})=\frac{E(X_1)}{k} [/mm]

oder

[mm] P(X_1\le{X_k})=\frac{1}{k} [/mm]

???

Berechne einmal für jeden möglichen Wert der Zufallsvariabken [mm] X_k [/mm] die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] X_1\le{X_k} [/mm] erfüllt ist. Wenn du diese Wahrscheinlichkeiten aufsummierst, dann erhältst du genau die Aussage, also ist sie wahr.

> zu (iii)

>

> dann müsste es heißen, dass

>

> [mm]E(cos(X_1))=\bruch{1}{k}\summe_{i=1}^k[/mm] cos(i)

>

> und [mm]E(cos(X_2))=cos(X_2)P(X_2)[/mm]

>

Wenn du den Erwartungswert von [mm] cos(X_2) [/mm] auf die gleiche Art und Weise darstellst wie bei [mm] cos(X_1), [/mm] was passiert dann wohl?


Gruß, Diophant

Bezug
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