Aussagen < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Sa 30.10.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Für alle Aussagen [mm] p [/mm] gilt: Wenn [mm] p [/mm] nicht allgemein gültig ist, dann ist [mm]\neg p [/mm] allgemein gültig.
(b) Für alle Aussagen [mm] p [/mm] und [mm] q [/mm] gilt: Wenn [mm] p \wedge q [/mm] allgemein gültig ist, dann sind auch [mm] p [/mm] und [mm] q [/mm] allgemein gültig.
(c)...... |
Die Aufgabe geht bis (e). Ich würde sie gerne lösen, versteh aber nicht ganz wie.
"Allgemein gültig heißt, dass sie unter allen Belegungen ihrer Teilaussagen wahr ist" war unsere Definition.
(a) müsste dann falsch sein, weil für die Teilaussage "[mm]p [/mm] ist wahr [mm] \neg p [/mm] falsch ist" oder?
(b) eventuell wahr, weil man aus einer falschen Aussage immer eine wahre folgern kann? Oder ist das totaler Blödsinn?
ich versteh nicht so ganz wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Vielleicht kann mir das jemand kurz erklären oder einen sinnvollen Link schicken, den man begreift?
Vielen Dank =)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Sa 30.10.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo ella
zu a)
Wenn p nicht allgemeingueltig ist, dann gibt es eine Belegung (der Variablen), so dass die Aussage ungueltig ist. Dann ist die Negation [mm] $\neg [/mm] p$ aber (nur) fuer diese Belegung gueltig. Damit die Negation allgemeingueltig ist, muesste die Negation fuer alle Belegungen der Variablen gueltig sein.
Intuitiv: Wenn eine Aussgage nicht allgemeingueltig ist, dann gibt es ein Gegenbeispiel. Die Existenz eines Gegenbeispiels beweist aber nicht, dass die Negation allgemeinguelig ist. (Dazu muesste man zeigen, dass es fuer die Aussgage keine Beispiele gibt).
zu b) Die "und"-Aussage [mm] $p\wedge [/mm] q$ gilt nur wenn beide Aussagen p und q gueltig sind. D.h. man kann von [mm] $p\wedge [/mm] q$ sowohl auf p als auch auf q schliessen. Deshalb ist b) richtig.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Sa 30.10.2010 | | Autor: | ella87 |
so grob versteh ich das, aber wie "beweist" man das?
wir haben immer Wahrheitstafeln aufgeschrieben, aber das scheint hier nicht zu gehen oder?
Das ging immer andersrum. Also wir haben für p und q die festen Belegungen
w w f f bzw. w f w f
und schließen dann auf die Belegungen für andere Kominationen aus p und q.
Ich begreife irgendwie nicht, wie ich mich ausdrücken soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Sa 30.10.2010 | | Autor: | moudi |
Ich mache ein Beispiel: p sei die Aussage [mm] $p=a\vee [/mm] b$. Dann ist p nicht allgemeingueltig.
Wenn a=f und b=f, dann gilt p=f. Die Negation ist aber auch nicht allgemeingueltig. Denn die Negation ist [mm] $\neg p=\neg(a\vee [/mm] b)$ und ist a=w und b=w, dann gilt [mm] $a\vee [/mm] b=w$ und [mm] $\neg(a\vee [/mm] b)=f$.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Sa 30.10.2010 | | Autor: | gollum13 |
Bist du dir bei a sicher? Ich habe das gerade auf Existenz und auf All-Aussagen bezogen.
Bsp.: Es existieren rote Fische. (eine partikuläre Aussage)
und negiert: Es existieren keine roten Fische. <=> Alle Fische sind nicht rot.
|
|
|
| |
|
Man kann sich sicher Aussagen so hinbasteln, dass es gilt.
Allerdings ist in a) gefordert, dass es für jedwege Aussage p gelten soll.
Das heißt ein einzelnes Gegenbeispiel reicht schon, damit a) nicht mehr gilt.
Am einfachsten kann man sich so ein Beispiel, wie moudi es bereits getan hat, mit reiner Aussagenlogik basteln, ohne einen "Inhalt" da reinzustecken.
Bei sprachlichen Aussagen wird es immer ein wenig schwierig das nicht doch irgendwie auf eine Allaussage hinzudrehen...
Als Beispiel würde mir gerade spontan einfallen:
"Wenn die Sonne scheint esse ich ein Eis." (math: Sonne [mm] $\to$ [/mm] Eis)
Verneinung: "Wenn die Sonne scheint, esse ich kein Eis." (math: [mm] $\neg$(Sonne $\to$ [/mm] Eis)
Beide Aussagen mögen durchaus manchmal gelten, aber keine davon ist allgemein gültig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Sa 30.10.2010 | | Autor: | ella87 |
ich würde es mir logischem argumentieren versuchen:
(a) p kann die Belegungen w und f haben, weil p nicht allgemeingültig. Für dir Beledung p=w ist [mm]\neg[/mm]p = f und daraus folgt dann, dass [mm]\neg[/mm]p nicht allgemeingültig ist.
(b) p[mm]\wedge[/mm]q ist allgemeingültig, hat also nur die Belegung w.
Das heißt p ist wahr und q ist wahr und das heißt Allgemeingültigkeit für p und q.
(c) "Wenn p[mm]\vee[/mm]q allgemein gültig ist, dann ist auch p oder q allgemein gültig"
p[mm]\vee[/mm]q heißt p=w und q=w oder p=w und q=f oder p=f und q=w
Damit sind weden p noch allgemein gültig. Also eine falsche Aussage.
(d) "Wenn (wenn p allgemein gültig ist, dann ist auch q allgemeingültig), dann ist p [mm]\to[/mm] q allgemein gültig."
ja, weil die erste Bedingung ja heißt aus p folgt q und wenn das wahr sein muss, dann ist die Aussage allgemein gültig.
(e) "Wenn p [mm]\to[/mm] q allgemein gültig ist, dann gilt auch (wenn p allgemein gültig ist, dann ist auch q allgemein gültig)."
Müsste auch wahr sein. Weil p [mm]\to[/mm] q hat die Möglichkeiten, dass p und q beide wahr sind oder beide falsch und die zweite Aussage betrachtet nur den Fall, dass p allgemeingültig, also wahr, ist und das impliziert, dass q wahr ist.
ist das so korrekt?
|
|
|
| |
|
Hallo,
a,b,c sind richtig. d und e musst du nochmal formal korrekt bearbeiten.
Beispiel für a ): x=2 f.A. , da x beliebig
[mm] x\not= [/mm] 2 f.A., da x ja auch 2 sein kann
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Sa 30.10.2010 | | Autor: | ella87 |
nochmal zu (d)
die Aussage "Wenn(wenn p allgemein gültig ist, dann ist auch q allgemein gültig)" lässt für p und q nur die Belegung "wahr" zu, dann gilt auch der zweite Teil, also "p [mm]\to[/mm]q" ist wahr und damit allgemein gültig.
und (e)
" p [mm]\to[/mm]q allgemein gültig" lässt die Belegungen
p=w und q=w oder p=f und q=w oder p=f und q=f zu.
Wenn dann also das nächste "wenn" gilt (also das p allgemein gültig ist), dann ist auch q allgemein gültig.
stimmt das so?
|
|
|
| |
|
jo, stimmt so
schon allein da gilt:
(p [mm] $\to$ [/mm] q) [mm] $\gdw$ [/mm] ("wenn p dann q") ;)
|
|
|
| |
|
Hallo,
bei d hast du nen kleinen Denkfehler: da steht WENN p allgemeingültig ist, sprich p kann sehr wohl Belegung f haben, woraus folgt das q sowohl mit w als auch mit f belegt sein kann, und zwar unabhängig davon ob p die Belegung w oder f hat (da die Bedingung Allgemeingültigkeit war - nicht Belegung w)
Das lässt sich formal regeln, indem man die Belegung aw= allgemein gültig, af= nie gültig, w= bedingt wahr, aber (angenommen) wahr, f= bedingt falsch, aber (angenommen) falsch einführt.
lg
|
|
|
|
