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Forum "Mengenlehre" - Aussagen Mengenlehre Beweise
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Aussagen Mengenlehre Beweise: Amann Escher Analysis 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Do 24.08.2017
Autor: derbierbaron

Aufgabe
1. Es seien X, Y und Z Mengen. Man beweise die Transitivität der Inklusion, d.h

[mm] $(X\subset [/mm] Y) [mm] \wedge [/mm] (Y [mm] \subset [/mm] Z) [mm] \Rightarrow (X\subset [/mm] Z) $

2. Es seien X,Y,Z Teilmengen einer Menge A. Zu zeigen ist, dass die folgenden Aussagen gelten:

i) [mm] $X\cup [/mm] Y = Y [mm] \cup [/mm] X , X [mm] \cap [/mm] Y = Y [mm] \cap [/mm] X$ (Kommutativitaet)
ii) $X [mm] \cup [/mm] (Y [mm] \cup [/mm] Z) = [mm] (X\cup [/mm] Y) [mm] \cup [/mm] Z, [mm] X\cap (Y\cap [/mm] Z)= [mm] (X\cap [/mm] Y) [mm] \cap [/mm] Z)$(Assoziativitaet)
iii) [mm] $X\cup (Y\cap [/mm] Z) = (X [mm] \cup [/mm] Y) [mm] \cap [/mm] (X [mm] \cup [/mm] Z)$,
[mm] $X\cap (Y\cup [/mm] Z) = [mm] (X\cap [/mm] Y) [mm] \cup (X\cap [/mm] Z)$ (Distributivitaet)

iv)$ [mm] X\subset [/mm] Y [mm] \gdw X\cup [/mm] Y = [mm] Y\gdw X\cap [/mm] Y = X $


Hallo  werte Community,

Es handelt sich um einige Aufgaben vom 1 Kapitel aus dem Buch Amann Escher , Analysis 1.
Ich habe diese Aufgaben bearbeitet und will wissen ob ich richtig liege. Waere sehr dankbar wenn jemand was ich gemacht habe ueberfliegen koennte und mir sagen ob es zumindest in die richtige Richtung geht

1. Jedes Element von X ist auch in Y enthalten. Gleichzeitig ist auch jedes Element von Y in Z enthalten, also muss jedes Element von X auch in Z enthalten sein.

2.

i) - iii) habe ich durch eine Wahrheitstabelle bestaetigt

iv) Zuerst: [mm] $X\subset [/mm] Y [mm] \gdw X\cup [/mm] Y = Y$

[mm] $X\subset [/mm] Y [mm] \Rightarrow X\cup [/mm] Y = Y$: Sei x ein Element von Y , dann ist es weil Y die Obermenge von X ist, auch in X enthalten, daraus folgt, dass [mm] $X\cup [/mm] Y := [mm] \{x\in Y; x\in X \vee x\in Y\} [/mm] = [mm] x\in [/mm] Y  $ entspricht

[mm] $X\cup [/mm] Y =Y [mm] \Rightarrow X\subset [/mm] Y$ : Sei x ein Element von Y, aber X keine Teilmenge von Y, dann kann x nicht ein Element von Y sein weil per Voraussetzung x in [mm] $X\cup [/mm] Y$ ist, Das ist aber ein Widerspruch also ist X sicher eine Teilmenge von Y

Jetzt bleibt noch zu zeigen: [mm] $X\subset Y\gdw X\cap [/mm] Y = X $


$X [mm] \subset [/mm] Y [mm] \Rightarrow X\cap [/mm] Y=X$

Sei x ein Elemente , welches in X und Y enthalten ist, und y ein Element, welches nur in Y , aber nicht in X enthalten ist ,y existiert per Voraussetzung, also folgt fuer den Durchschnitt die Behauptung

[mm] $X\cap [/mm] Y = X [mm] \Rightarrow [/mm] X [mm] \subset [/mm] Y$

Sei x ein Element von X , aber X keine Untermenge von Y, sondern gleichmaechtig oder maechtiger, dann waere der Durchschnitt aber X=Y, per Voraussetzung ist x aber auch in Y enthalten und [mm] $X\cap [/mm] Y = X$ , also muss X eine Untermenge von Y sein



Stimmt das so?


Gruss

DBb

        
Bezug
Aussagen Mengenlehre Beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Do 24.08.2017
Autor: X3nion

Hallo derbierbaron,


nehmen wir doch mal die Definitionen, wobei ich A statt X und B statt Y verwende. Sei G eine Grundmenge und seien A und B Teilmengen von G.

D1 A [mm] \cup [/mm] B := {x [mm] \in [/mm] G | x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] B}

D2 A [mm] \cap [/mm] B := {x [mm] \in [/mm] G | x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B}.

D3 Für eine Teilmenge A von B gilt folgendes:
Ist x [mm] \in [/mm] A, so ist x [mm] \in [/mm] B, also:

A [mm] \subset [/mm] B [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B



Nun etwa den Beweis der ersten Identität.
Wir wollen nun folgendes zeigen, wobei A und B Teilmengen von G seien.
[mm] A\subset [/mm] B [mm] \gdw A\cup [/mm] B = B

1. [mm] A\subset [/mm] B [mm] \Rightarrow A\cup [/mm] B = B

Voraussetzung ist hier [mm] A\subset [/mm] B, d.h. ist x [mm] \in [/mm] A, so ist x [mm] \in [/mm] B.

[mm] A\cup [/mm] B := {x [mm] \in [/mm] G | x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] B} =>
Ist nun x [mm] \in [/mm] B, so ist nichts zu zeigen. Ist nun x [mm] \in [/mm] A, so ist x [mm] \in [/mm] B.
Also gilt: [mm] A\cup [/mm] B = B

Also unter der Benutzung der Voraussetzung [mm] A\subset [/mm] B haben wir gezeigt, dass [mm] A\cup [/mm] B = B bzw. [mm] A\subset [/mm] B [mm] \Rightarrow A\cup [/mm] B = B

2. Gelte umgekehrt [mm] A\cup [/mm] B = B. Zu zeigen ist damit, dass [mm] A\subset [/mm] B.

[mm] A\cup [/mm] B = B <=> {x [mm] \in [/mm] G | x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] B} = {x [mm] \in [/mm] G: x [mm] \in [/mm] B}

Daraus folgt aber gerade, dass für x [mm] \in [/mm] A gilt, dass x [mm] \in [/mm] B also A [mm] \subset [/mm] B.




Viele Grüße,
X3nion



Bezug
                
Bezug
Aussagen Mengenlehre Beweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Do 24.08.2017
Autor: derbierbaron

Hallo X3nion!

Ich bedanke mich für deine Antwort, allerdings hilft mir diese in diesem Fall nicht sehr viel weiter! Denn ich hätte ja auch einfach die Lösungen googeln können...

Aber ich möchte gerne einen Beweis machen der von mir kommt, auch wenn es nicht der eleganteste ist und evtl sogar falsch.
Ich habe keine Erfahrung mit Uni Mathematik (wie man sieht); und frage daher nach Eurer Einschätzung

Sind meine Ansätze komplett falsch/unbrauchbar?


Bezug
                        
Bezug
Aussagen Mengenlehre Beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:00 Fr 25.08.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Bierbaron,

ich würde empfehlen, die Form die Xenion gewählt hat zu verinnerlichen. Sich damit zu Beginn des Studiums vertraut zu machen ist wichtig.

> $ [mm] X\subset [/mm] Y [mm] \Rightarrow X\cup [/mm] Y = Y $: Sei x ein Element von Y , dann ist  es weil Y die Obermenge von X ist, auch in X enthalten, daraus folgt, dass  $ [mm] X\cup [/mm] Y := [mm] \{x\in Y; x\in X > \vee x\in Y\} [/mm] = [mm] x\in [/mm] Y $ entspricht

Das ist im Allgemeinen falsch. Betrachte $ X = [mm] \{1,2\}$ [/mm] und $ Y = [mm] \{1,2,3,4\}$. [/mm] Es gilt aber $ x [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Y $. Per Definition ist $ X [mm] \cup [/mm] Y = [mm] \{ x \in A \vert\ x \in X \vee x \in Y \} [/mm] $

$ X [mm] \cup [/mm] Y = Y [mm] \gdw \left(X \cup Y \subset Y\right) \wedge \left(Y \subset X \cup Y \right) [/mm] $

Sei also $ X [mm] \subset [/mm] Y$.

Dann gilt $ x [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Y [mm] \Rightarrow \left(x \in X \vee x \in Y\right) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \cup [/mm] Y $ also ist $ Y [mm] \subset [/mm] X [mm] \cup [/mm] Y $

Sei $ x [mm] \in [/mm] Y [mm] \cup [/mm] X [mm] \Rightarrow \left(x \in X \vee x \in Y\right) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Y $ also ist $ X [mm] \cup [/mm] Y [mm] \subset [/mm] Y $

Also insgesamt $ X [mm] \subset [/mm] Y [mm] \Rightarrow [/mm] X [mm] \cup [/mm] Y = Y $

LG,
ChopSuey

Bezug
                                
Bezug
Aussagen Mengenlehre Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:11 Fr 25.08.2017
Autor: derbierbaron

Hey ChopSuey,


Danke! Werde deinen Rat mit dem Verinnerlichen der Beweisart zu Herzen nehmen.


Gruss

DBb

Bezug
                                        
Bezug
Aussagen Mengenlehre Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:18 Fr 25.08.2017
Autor: ChopSuey

Hallo nochmal,

mir hat es damals zu Beginn sehr geholfen, "einfache Beweise" einfach zu reproduzieren. Ich habe damals mit Harro Heusers Analysis I gearbeitet und zunächst versucht die ersten Kapitel nachzuvollziehen und dann gewissermaßen die Beweise einfach "nachzumachen" um die Struktur und Denkmuster zu verinnerlichen und zu üben. Das half mir wirklich sehr.  

Viel Erfolg und meld dich ruhig wenn du Fragen hast. Dafür ist der Matheraum ja gedacht.

LG,
ChopSuey

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