Aussagen anhand des Char. Pol. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Do 23.05.2013 | | Autor: | woohoo |
| Aufgabe | Die Matrix $A [mm] \in M_5(\mathbb{C})$ [/mm] habe das charakteristische Polynom [mm] $\xi_A [/mm] = [mm] (X-1)^2(X-i)^2(X-\frac{1}{\sqrt(2)}-\frac{1}{\sqrt(2)}i)$
[/mm]
a) Kann A eine hermitesche Matrix sein?
b) Kann A eine unitaere Matrix sein?
c) Kann A nur reelle Koeffizienten haben?
d) Kann A eine diagonalisierbare Matrix sein? |
Die Nullstellen sind $1$, $i$, [mm] $\frac{1+i}{\sqrt(2)}$ [/mm]
Somit kann sie weder hermitesch noch unitaer sein richtig? Da sie nicht alle reell und nicht alle +1 oder -1 sind.
Ich glaube sie ist nicht diagonalisierbar, denn die Eigenvektoren muessten eine Basis bilden, aber es gibt nur 3 Eigenwerte und es muesste aber 5 Eigenvektoren geben die eine Basis bilden? Ist das richtig?
Bei c) Habe ich ueberhautp keine Idee. Hier wäre ein tipp super
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Die Matrix [mm]A \in M_5(\mathbb{C})[/mm] habe das charakteristische
> Polynom [mm]\xi_A = (X-1)^2(X-i)^2(X-\frac{1}{\sqrt(2)}-\frac{1}{\sqrt(2)}i)[/mm]
>
> a) Kann A eine hermitesche Matrix sein?
> b) Kann A eine unitaere Matrix sein?
> c) Kann A nur reelle Koeffizienten haben?
> d) Kann A eine diagonalisierbare Matrix sein?
> Die Nullstellen sind [mm]1[/mm], [mm]i[/mm], [mm]\frac{1+i}{\sqrt(2)}[/mm]
>
> Somit kann sie weder hermitesch noch unitaer sein richtig?
> Da sie nicht alle reell und nicht alle +1 oder -1 sind.
Ja. Da die Eigenwerte nicht reel sind ist die Matrix nicht selbstadjungiert, also hermitesch.
Bei unitär musst du aufpassen, eine Matrix ist genau dann unitär wenn für alle Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] gilt [mm] |\lambda{}|=1 [/mm] ,
ich weiß nicht wie du auf +1/-1 kommst. Was ist denn [mm] |\frac{1+i}{\sqrt(2)}| [/mm] , |i|, |1| ??
> Ich glaube sie ist nicht diagonalisierbar, denn die
> Eigenvektoren muessten eine Basis bilden, aber es gibt nur
> 3 Eigenwerte und es muesste aber 5 Eigenvektoren geben die
> eine Basis bilden? Ist das richtig?
Jein, du brauchst 5 Eigenvektoren, das ist korrekt. Es kann aber mehrere Eigenvektoren zu einem Eigenwert geben.
>
> Bei c) Habe ich ueberhautp keine Idee. Hier wäre ein tipp
> super
Falls die Matrix nur reelle Koeffizienten haben sollte, wie sehen dann die nicht reellen Eigenwerte aus?
Schau mal in deinen Unterlagen nach.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß helicopter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Do 23.05.2013 | | Autor: | woohoo |
Ok das mit dem unitaer hab ich nun verstanden. Habs jetzt richtig nachgerechnet.
Bei der diagonalisierbarkeit komme ich so wahrscheinlich nicht weiter, denn ich habe nur das char pol, aber kann ich einfach testen ob [mm] $(x-\frac{1+i}{\sqrt(2)})(x-i)(x-1)$ [/mm] das minimalpolynom ist, also ob es Teiler vom char pol ist? Ich glaube das sollte reichen.
Bei der c) bin ich jetzt leider immernoch nicht viel schlauer.
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Hallo,
> Ok das mit dem unitaer hab ich nun verstanden. Habs jetzt
> richtig nachgerechnet.
>
> Bei der diagonalisierbarkeit komme ich so wahrscheinlich
> nicht weiter, denn ich habe nur das char pol, aber kann ich
> einfach testen ob [mm](x-\frac{1+i}{\sqrt(2)})(x-i)(x-1)[/mm] das
> minimalpolynom ist, also ob es Teiler vom char pol ist? Ich
> glaube das sollte reichen.
Dir sollte bereits reichen das die Matrix unitär ist. Wenn sie unitär ist, ist sie auf jeden fall normal und wie siehts
aus mit der Diagonalisierbarkeit von normalen Matrizen?
>
> Bei der c) bin ich jetzt leider immernoch nicht viel
> schlauer.
Sollte die Matrix nur reelle Koeffizienten haben, dann treten die nicht reelen Eigenwerte in paaren zueinander konjugierter komplexen Zahlen auf.
Gruß helicopter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Do 23.05.2013 | | Autor: | woohoo |
Ok vielen Dank fuer die Hilfe! Das mit sie unitaer is macht d natuerlich einfach.
Die c habe ich nun auch verstanden glaube ich, denn
wenn [mm] $\lambda$ [/mm] Eigenwert und $x$ der zugehoerige Eigenwert, dann habe ich ja
$Ax = [mm] \lambda [/mm] x$
Konjugiert man das hat man also
[mm] $\overline{Ax} [/mm] = [mm] \overline{A}\overline{x} [/mm] = [mm] A\overline{x} =\overline{\lambda}\overline{x}$ [/mm] also ist [mm] $\overline{\lambda}$ [/mm] auch eigenwert mit dem eigenvektor [mm] $\overline{x}$.
[/mm]
Somit kann sie also nicht nur reelle Koeffizienten haben.
Ich hoffe das ist jetzt richtig so
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