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Forum "Diskrete Mathematik" - Aussagen für natürliche Zahlen
Aussagen für natürliche Zahlen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aussagen für natürliche Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:59 Mi 20.09.2006
Autor: Binky

Aufgabe
stimmt es oder nicht für alle natürlichen Zahlen n
1. 22|n² [mm] \Rightarrow [/mm] 22|n
soll heißen 22 teilt n² (n² ist teilbar durch 22)
2. 23|n² [mm] \Rightarrow [/mm] 23|n
3. 24|n² [mm] \Rightarrow [/mm] 24|n
4. 9|n hoch 4 [mm] \Rightarrow [/mm] 81|n³

So, nun meine Frage:
Wie komme ich auf die ergebnisse? Ich habe da außer rumprobieren bisher keinen Ansatz gefunden.
Die Musterlösung liegt vor. aber ich wüsste doch mal gerne Zwischenschritte.

Gruß

Binky

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Aussagen für natürliche Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:59 Do 21.09.2006
Autor: Event_Horizon

Ich denke, du mußt die Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen. Also so:


22=2*11

n² muß nun durch jeden dieser Faktoren teilbar sein.

Damit nun n² durch 2 teilbar ist, muß n den Faktor [mm] \wurzel{2} [/mm] enthalten, was ja nicht geht, weils ne natürliche Zahl ist. Oder aber n enthält den Faktor 2, dann ist n² sicherlich auch durch 2 teilbar!

Die gleiche Argumentation gilt für die 11. n kann nicht den Faktor [mm] \wurzel{11} [/mm] enthalten, also enthält es den Faktor 11.

Insgesamt wissen wir nun, daß n duch 2 und durch 11 teilbar ist, also auch duch 22. Die Behauptung ist wahr!






23 ist schon ne Primzahl, hier gilt das gleiche wie oben.


24=2*2*2*3


Für die 3 gilt auch das oben gesagte. n enthält also zwingend den Primfaktor 3.

Für 2*2 gilt, daß n NUR durch 2 teilbar sein muß, denn dann ist das Quadrat ja auch duch 2*2 teilbar. N enthält also den Faktor 2

Jetzt ist da noch ein Faktor 2 in n². Dieser impliziert, daß n noch einen weiteren Faktor 2 enthalten muß.


INSGESAMT wissen wir also, daß man n so schreiben kann n= 2*2*3*x wobei x irgendeine natürliche Zahl ist. Dieses n ist also nicht zwingend durch 24=2*2*2*3 teilbar, weil da ein Faktor 2 fehlt.

Beispiel: 2*2*3*3=36 (nicht teilbar)  aber (2*2*3*3)²=2*2*2*2*3*3*3*3 ist durch 24 teilbar.



Man sieht also: Die Zahl, durch die geteilt werden soll, darf in ihrer Primfaktorzerlegung keinen Faktor mehrmals stehen haben!

Letzte Aufgabe:

$ [mm] 9|n^4$ [/mm] bedeutet, n enthält eine  [mm] \wurzel[4]{3}, [/mm] eine [mm] \wurzel{3} [/mm] oder eine 3. Natürlich ist nur die letzte Möglichkeit zulässig.

Dann enthält jedenfalls die n³ den Faktor 3*3*3=27, ist also nicht zwingend durch 81 teilbar


Wenn du die 9 und die 81 in der Aufgabe vertauschst, geht es allerdings!

Bezug
                
Bezug
Aussagen für natürliche Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:00 Do 21.09.2006
Autor: Binky

Vielen Dank schon mal.

Nur um sicher zu gehen nehme ich nun mal das Beispiel
15|n² [mm] \Rightarrow [/mm] 15|n

ich zerlege also in 15=3*5

daher muß n sowohl 3 als auch 5 enthalten. Daraus folgere ich, dass auch n² teilbar durch 15 ist.

Ist das soweit richtig?

Gruß

Binky

Bezug
                        
Bezug
Aussagen für natürliche Zahlen: Antwort und Bemerkung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:19 Do 21.09.2006
Autor: mathiash

Guten Morgen,

zuerst eine Bemerkung zu der bereits gegebenen Antwort von Event-Horizon:

es ist einfach formal nicht richtig argumentiert, dass zB 9 den Faktor [mm] \sqrt{3} [/mm] nicht enthält. Entscheidend ist jedoch:
Hier ist nach nicht-natürlichzaligen Faktoren einfach nicht gefragt. Man sollte sie also schlicht aus der Argumentation
herausnehmen.

Bis auf dieses sind aber die Beweise von Event-Horizon in Ordnung.

> Vielen Dank schon mal.
>  
> Nur um sicher zu gehen nehme ich nun mal das Beispiel
> 15|n² [mm]\Rightarrow[/mm] 15|n
>  
> ich zerlege also in 15=3*5
>  
> daher muß n sowohl 3 als auch 5 enthalten. Daraus folgere
> ich, dass auch n² teilbar durch 15 ist.

Du folgerst, dass n durch 15 teilbar ist, richtig ?

>  
> Ist das soweit richtig?
>  
> Gruß
>  
> Binky

Allgemein gilt:

Für eine natürliche Zahl a gilt

[mm] \forall n\in\IN\:\: (a|n\:\rightarrow\: a|n^2) [/mm]

genau dann, wenn a=1 oder  a Produkt von paarweise verschiedenen Primzahlen ist (d.h. jeder Primfaktor von a hat Exponent 1 oder anders:
a ist nicht durch das Quadrat irgendeiner Primzahl teilbar).

Gruss,

Mathias

Bezug
                                
Bezug
Aussagen für natürliche Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 Do 21.09.2006
Autor: Binky

Hallo Mathias

ich folgere dass n und n² durch 15 teilbar sind.

> genau dann, wenn a=1 oder  a Produkt von paarweise verschiedenen Primzahlen ist (d.h. jeder Primfaktor von a hat Exponent 1 oder anders: a ist nicht durch das Quadrat irgendeiner Primzahl teilbar).

das bestätigt doch auch deine Aussage.

Bezug
                                        
Bezug
Aussagen für natürliche Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:30 Do 21.09.2006
Autor: mathiash

Hallo nochmal,

genauer gesagt folgerst Du aus  15|n, dass dann auch [mm] 15|n^2 [/mm] gilt.

Gruss,

Mathias

Bezug
                                                
Bezug
Aussagen für natürliche Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Do 21.09.2006
Autor: Binky

ähm, genau. aber stimmt doch oder?

Bezug
                                                        
Bezug
Aussagen für natürliche Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Do 21.09.2006
Autor: piet.t

Hallo,

...stimmen tut das schon, aber dazu braucht man weder eine Primfaktorzerlegung noch sonst irgendwas, denn wenn a|n dann gilt sicher immer auch [mm] a|n^2. [/mm] Aber schau Dir nochmal die Pfeile in der Aufgabenstellung an: was ist die Voraussetzung, was wird gefolgert?

Gruß

piet

Bezug
                                                                
Bezug
Aussagen für natürliche Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:23 Do 21.09.2006
Autor: Binky

ach so, alles klar. habs kapiert.

Vielen Dank noch ma an alle Helfer.

Gruß

Binky

Bezug
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