Aussagen über Nullstellen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Betrachte die Integralfunktion [mm] \integral_{-1}^{x}{(t+1)e^{-t} dt} [/mm] mit Def.-Bereich = [-1 ; [mm] \infty [/mm] [. Welche Aussagen über Nullstellen, Extrema und Wendepunkte kann man ohne Integration machen ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich komme bei dieser Aufgaben nicht dahinter wie ich Rückschlüsse auf Nullstellen machen kann und sagen kann wo sich diese befinden. Bei der Lösung steht : Einzige Nullstelle : x = -1 , da [mm] \integral_{-1}^{-1}{(t+1)e^-1 dt = 0} [/mm] und F streng monoton steigt wegen f > 0. Ich verstehe schon , dass wenn man eine Nullstelle bestimmt hat das Integral keine weitere Nullstelle mehr haben kann , da die Ableitung von -1 bis unendlich positive Werte annimmt. Jedoch komme ich eben nicht mit den Nullstellen weiter. Ich verstehe zwar die Aussage des Integrals , jedoch ist doch jedes Integral bei dem die untere Grenze gleich der oberen Grenze ist = 0 , oder sehe ich das falsch ? Dann müssten aber alle y - Werte der Integralfunktion 0 sein und ich somit irgendwo einen Denkfehler habe.
Ich würde mich sehr über Antworten freuen.
Mit freundlichen Grüßen,
Heilmann Martin
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> Betrachte die Integralfunktion
> [mm]\integral_{-1}^{x}{(t+1)e^{-t} dt}[/mm] mit Def.-Bereich = [-1 ;
> [mm]\infty[/mm] [. Welche Aussagen über Nullstellen, Extrema und
> Wendepunkte kann man ohne Integration machen ?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> Ich komme bei dieser Aufgaben nicht dahinter wie ich
> Rückschlüsse auf Nullstellen machen kann und sagen kann wo
> sich diese befinden.
Die Ableitung des Integrals $f(x) := [mm] \integral_{-1}^{x}{(t+1)e^{-t} dt}$ [/mm] nach der oberen Grenze $x$ ist nichts anderes als der Integrand (als Funktion von $x$ geschrieben), also: [mm] $f'(x)=(x+1)e^{-x}$ [/mm] ("Hauptsatz"). Daher braucht man das Integral gar nicht auszurechnen, um zu wissen, wie die Ableitung aussieht.
Dass $f(-1)=0$ ist, ist richtig. Zudem ist der Integrand im Integrationsintervall [mm] $\geq [/mm] 0$ und ausser bei $t=-1$ sogar $>0$. Also wächst $f(x)$ für [mm] $x\geq [/mm] -1$ streng monoton. $f(x)$ hat bei $x=-1$ eine globale Minimalstelle (zugleich einzige Nullstelle).
Falls auch $x<-1$ zugelassen wäre (was wegen der willkürlichen Beschränkung von $f(x)$ auf den Definitionsbereich [mm] $[-1;+\infty[$ [/mm] nicht zutrifft) könnte man noch sagen: Weil dort der Integrand $<0$ ist, die obere Integrationsgrenze $x$ aber kleiner als die untere, wächst das Integral $f(x)$ auch, wenn man $x$ von $x=-1$ an gegen [mm] $-\infty$ [/mm] gehen lässt. Die Funktion $f(x)$ wäre also für [mm] $x\leq [/mm] -1$ streng monoton fallend, für [mm] $x\geq [/mm] 1$ streng monoton wachsend.
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{-1}^{x}{(t+1)e^{-t} dt} [/mm] |
Vielen Dank für die schnelle Bearbeitung dieser Aufgabe jedoch hilft mir das nicht weiter. Vielleicht habe ich die Frage unklar gestellt. Aber mir geht es nicht um die Nullstelle der Funktion (x+1)e^-^t , sondern um die Nullstelle der Integralfunktion mit untere Grenze -1. f(-1)=0 ist klar aber sagt mir in der Regel als erstes nur dass diese Stelle ein Extrem bzw TP ist aber nicht dass dieser Punkt gleichsam Nullstelle des Integrals ist. Verstehen Sie vielleicht jetzt mein Problem. Mein Lehrer sagte mir heute , dass die festgesetzte untere Grenze immer Nullstelle ist was doch nicht stimmen kann ?... und dass die obere und untere grenze = -1 null ergeben muss ist auch klar aber dass ist doch immer der Fall wenn obere und untere Grenze die gleichen Zahlenwerte sind.
Den Rest , mit Monotonie etc. brauchen Sie nicht zu erläutern, da das nicht mein Problem ist.
Mit freundlichen Grüßen,
Heilmann Martin
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> [mm]\integral_{-1}^{x}{(t+1)e^{-t} dt}[/mm]
> Vielen Dank für die
> schnelle Bearbeitung dieser Aufgabe jedoch hilft mir das
> nicht weiter. Vielleicht habe ich die Frage unklar
> gestellt. Aber mir geht es nicht um die Nullstelle der
> Funktion [mm] $(x+1)e^{-x}$ [/mm] , sondern um die Nullstelle der
> Integralfunktion mit untere Grenze -1. f(-1)=0 ist klar
> aber sagt mir in der Regel als erstes nur dass diese Stelle
> ein Extrem bzw TP ist aber nicht dass dieser Punkt
> gleichsam Nullstelle des Integrals ist.
Wie kommst Du denn dadrauf. Wir sprechen hier ja nicht von der Ableitung $f'(x)$ des Integrals als Funktion seiner oberen Grenze, sondern von $f(x)$ selbst. Deshalb bedeutet $f(-1)=0$ eben zuerst einmal nur genau dies: $x=-1$ ist Nullstelle von [mm] $f(x)=\int_{-1}^x (t+1)e^{-t}\; [/mm] dt$.
Die Ableitung von $f(x)$ ist, wie ich geschrieben hatte, [mm] $f'(x)=(x+1)e^{-x}$ [/mm] und diese Funktion hat nur bei $x=-1$ eine Nullstelle: somit hat der Graph von $f(x)$ bei $x=-1$ nicht nur eine Nullstelle sondern zudem eine horizontale Tangente.
> Verstehen Sie vielleicht jetzt mein Problem.
Möglicherweise: Meine (vorläufige) Diagnose ist, dass Du das 0 Werden von $f(x)$ (d.h. das Vorliegen einer Nullstelle des Integrals als Funktion seiner oberen Grenze) und das 0 Werden von $f'(x)$ (d.h. das Vorliegen einer horizontalen Tangente an den Graphen von $f(x)$) durcheinanderbringst.
Zufällig ist hier die (einzige) Nullstelle von $f(x)$ auch eine Nullstelle von $f'(x)$ (ebenfalls die einzige). Aber eben: Zufall, Zufall!
> Mein Lehrer sagte mir heute
> , dass die festgesetzte untere Grenze immer Nullstelle ist
> was doch nicht stimmen kann ?
Gewiss, Lehrer haben nicht immer recht - aber es kommt doch vor, dass sie recht haben. Dies scheint nun einer dieser ganz unerwarteten Fälle zu sein, dass ein Lehrer tatsächlich Recht hat. Ein Integral der Form [mm] $\int_a^a g(t)\, [/mm] dt$ ist immer $=0$ ganz gleich welches der Wert von $a$ ist. (Wir wollen einmal annehmen, dass $g(a)$ überhaupt definiert ist.)
>... und dass die obere und
> untere grenze = -1 null ergeben muss ist auch klar aber
> dass ist doch immer der Fall wenn obere und untere Grenze
> die gleichen Zahlenwerte sind.
Ja, ok. Also, wie gesagt, wenn die obere und untere Grenze des Integrals gleich sind, dann ist der Wert des Integrals $0$. Ich dachte, dies sei, was Dein Lehrer gesagt hat. Aus meiner (offenbar wirren - um nicht zu sagen irren) Sicht, scheinst Du dies zu glauben und zugleich nicht zu glauben. (Aber wahrscheinlich habe ich Deine Beschreibung Deines Problems erheut nicht verstanden: ich setze deshalb Deine Frage nur auf "teilweise beantwortet".)
> Den Rest , mit Monotonie etc. brauchen Sie nicht zu
> erläutern, da das nicht mein Problem ist.
Oh, Verzeihung, wie schusselig von mir solche Überflüssligkeiten abgesondert zu haben.
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{-1}^{x}{(t+1)e^{-t} dt} [/mm] |
Alles klar. Ich habe es endlich begriffen. Ich habe ganze Zeit nicht daran gedacht ,dass mit den unterschiedlichen unteren Grenzen sich die Integralfunktionen natürlich ändern , was ich übersehen habe. Und es stimmt dass wenn ich bei einer Funktion heraussehe , dass sich zwei Flächen aufheben und ich vom x-Wert als untere Grenze den Anfang der einen Fläche nehme und für die obere Grenze den x-wert ( Ende der vom Betrag gegengleichen Fläche) nehme, die obere Grenze ebenfalls eine Nullstelle ist ? Ich habe mit diesem Sachverhalt nie Probleme gehabt aber nun als es ins Detail gegangen ist bin ich durcheinander gekommen.
Also vielen Dank für die ausführlichen Erläuterung, die mich schließlich auf meinen Denkfehler gebracht haben.
◘ Den Rest , mit Monotonie etc. brauchen Sie nicht zu
> erläutern, da das nicht mein Problem ist.
Oh, Verzeihung, wie schusselig von mir solche Überflüssligkeiten abgesondert zu haben.
Tut mir leid , war keine Absicht , dass es in so einer arroganten Art herüberkommt.
Nochmals Danke,
Mit freundlichen Grüßen,
Heilmann Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Mo 07.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kurz: Wir duzen uns hier alle!
Ja du hast recht, die untere Grenze ist immer eine Nst. der Integralfkt, aber sie kann auch weitere haben, die du anschaulich richtig beschrieben hast
gruss leduart
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