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| Aufgabe | Es sei V ein K-Vektorraum und f : V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbildung. Zeige:
a) f [mm] \circ [/mm] f = 0 [mm] \gdw [/mm] Bild f [mm] \subset [/mm] Kern f
b) f [mm] \circ [/mm] f = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] dim (Kern f) [mm] \ge [/mm] 0.5 * dim V |
Hallo Community,
zunächste meine Überlegungen zu Aufgabenteil a).
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
f [mm] \circ [/mm] f = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] f(f(x)) = 0
mit der Vorraussetzung f sei lineare Abbildung, dann gilt:
f bildet den Nullvektor auf den Nullvektor ab.
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V
[mm] \Rightarrow [/mm] Bild f [mm] \subset [/mm] Kern f
[mm] "\Leftarrow":
[/mm]
Bild f [mm] \subset [/mm] Kern f
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V, speziell auch für f(0) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] f(f(x)) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \circ [/mm] f
Ist dieser Beweis richtig geführt?
mfg
oktollber
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 So 04.12.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> zunächste meine Überlegungen zu Aufgabenteil a).
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
>
> f [mm]\circ[/mm] f = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(f(x)) = 0
> mit der Vorraussetzung f sei lineare Abbildung, dann
> gilt:
> f bildet den Nullvektor auf den Nullvektor ab.
Aber im allgemeinen bildet f noch andere Vektoren als den Nullvektor auf 0 ab. Von daher ist der nächste Schluss nicht zulässig.
Aus $f(f(x))=0$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$ musst du etwas anderes folgern. Was bedeutet denn diese Gleichung für $f(x)$?
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) = 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] V
> [mm]\Rightarrow[/mm] Bild f [mm]\subset[/mm] Kern f
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm]
>
> Bild f [mm]\subset[/mm] Kern f
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) = 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in V[/mm]
Schon dieser erste Schluss stimmt nicht. Nur weil $f(x) [mm] \in [/mm] Bild(f)$ und somit $f(x) [mm] \in [/mm] Kern(f)$ heißt das noch nicht, dass $f(x)=0$. Schau dir nochmal die Definition des Kerns an.
LG Lippel
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