Aussagen um Abbildungen beweis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Do 25.10.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
| Aufgabe | Seien g: A [mm] \to [/mm] B und f: B [mm] \to [/mm] C Abbildungen. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
a) Ist f [mm] \circ [/mm] g injektiv, so ist g injektiv.
b) Ist f [mm] \circ [/mm] g injektiv, so ist f injektiv.
c) Ist f [mm] \circ [/mm] g bijektiv, so ist g injektiv und f surjektiv.
d) Ist g surjektiv und f bijektiv, so ist f [mm] \circ [/mm] g bijektiv. |
Hi Leute,
ich hab leider überhaupt keine Idee wie man an diese Aufgabe rangehen könnte. Mir ist zwar bewusst, was injektiv, surjektiv und bijektiv bedeutet, aber ich weiß nicht wie man das Beweisen muss. In der Übung haben wir a) bereits gelöst, aber ich habe nicht ganz verstanden was wir gemacht haben:
Zeige: [mm] f\circ [/mm] g injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] g injektiv
Beweis:
Seien [mm] a_{1}, a_{2} \in [/mm] A mit
[mm] g(a_1)=g(a_2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(g(a_1))=f(g(a_2))
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \circ g(a_1)=f \circ g(a_1)
[/mm]
da f [mm] \circ [/mm] g injektiv [mm] \Rightarrow a_1=a_2
[/mm]
Wäre nett, wenn mir jemand erklären könnte was genau wir hier gemacht haben...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Do 25.10.2007 | | Autor: | GorkyPark |
Guten Abend!
Bist du sicher, dass du den Beweis richtig abgeschrieben hast, denn nach meiner Meinung ist die Behauptung in Teilaufgabe a) im allgemeinen Fall nicht richtig!
Ein Gegenbeispiel:
[mm] g(x)=x^2
[/mm]
g(-1)=g(1)=1
f(x)= x, f injektiv
f(g(-1))=1 und f(g(1))=1
Aber -1=1!!
Prüfe bitte nach. Gibt es eine Beziehung zw. den Mengen A, B, und C??
> [mm]\Rightarrow f\circg(a_1)=f \circ g(a_1)[/mm]
Dieser Schritt ist unklar und nicht logisch.
Ciao!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Do 25.10.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
Ah tut mir Leid, die beiden Abb. sind natürlich über [mm] "\circ [/mm] " verknüpft...da is wohl bei der Textformatierung ein bisschen was falsch gelaufen.
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Hallo nochmals!
Du hast ja die Definition der Injektivität hingeschrieben. In Worten heisst injektiv: für jeden Wert, den die Abb. (Funktion) annimmt, gibt es genau einen Punkt im Urbild (= Ausgangsmenge).
in mathematischer Schreibweise: f injektiv: f(a)=f(b) [mm] \gdw [/mm] a=b.
nun zu a). Der Beweis steht ja da.
>
> Zeige: [mm]f\circ[/mm] g injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] g injektiv
>
> Beweis:
> Seien [mm]a_{1}, a_{2} \in[/mm] A mit
> [mm]g(a_1)=g(a_2)[/mm]
Wir nehmen zwei Punkte in der Menge A mit g(a)=g(b). zu zeigen: a=b.
Nenne g(a)=g(b)=c
Dann gilt doch: [mm]f(g(a))=f(g(b))=f(c)[/mm]
Sei nun f(c)=d
Dann gilt ja [mm]f(g(a))=d und f(g(b))=d[/mm]
nach Voraussetzung gilt ist aber die Kompostion injektiv,
also: f(g(a))= f(g(b)) [mm] \gdw [/mm] a=b , was zu zeigen war.
Das war hier etwas ausführlicher. Die anderen Punkte gehen ähnlich du musst nur mit der Definition arbeiten und es sind sehr kurze Beweise, also nicht weit suchen. Poste einfach deine Ideen
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Mi 07.11.2007 | | Autor: | mb588 |
Ahoi sag mal bitte ist f [mm] \circ [/mm] g das gleiche wie dis Produkt von f und g?
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Hallo mb588!
> Ahoi sag mal bitte ist f [mm]\circ[/mm] g das gleiche wie dis
> Produkt von f und g?
Nein. Wie willst du denn zwei Abbildungen multiplizieren? [mm] $f\circ [/mm] g$ ist die Verknüpfung von beiden Funktionen, das heißt, du wendest zuerst g auf ein Element an und auf das Ergebnis wendest du dann f an.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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