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| Aufgabe | Wahr oder falsch?
1. Die Funktion f : [mm] \IR \to \IR [/mm] sei gegeben. Wenn f auf [a,b] riemannintegrierbar für alle [mm] -\infty [/mm] < a < b < [mm] \infty [/mm] ist, dann existiert das uneigentliche Integral [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}
[/mm]
2. Die Menge R der riemannintegrierbaren komplexen Funktionen auf [a,b] ist eine Algebra.
3. Sei g stetig mit g(x) : [a,b] [mm] \to \IR, [/mm] so ist G(x) = [mm] \integral_{a}^{x}{g(t) dt} [/mm] beliebig oft di erenzierbar. |
Hallo,
ich bin neu hier und möchte an dieser Stelle alle erst einmal ganz herzlich Grüßen!
Bei der obigen Aufgabe habe ich mir bisher folgendes überlegt:
1. FALSCH. Als Gegenbeispiel habe ich f(x) = x betrachtet. Dann gilt der erste Teil der Aussage, aber das angegebene uneigentliche Integral existiert nicht.
2. WAHR. Um eine Algebra zu sein, muss die Menge R abgeschlossen unter Addition, Multiplikation und Multiplikation mit einer komplexen Zahl sein. Das ist der Fall.
3. Da bin ich mir unsicher. Mir fällt spontan kein Gegenspeil und auch keine Begründung ein.
Es wäre sehr nett von Euch, mir zu helfen. Sind 1. & 2. richtig? Was gilt für Aussage Nr. 3?
Liebe Grüße
Franziska
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Fr 28.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 3. Sei g stetig mit g(x) : [a,b] [mm]\to \IR,[/mm] so ist G(x) =
> [mm]\integral_{a}^{x}{g(t) dt}[/mm] beliebig oft di erenzierbar.
> Hallo,
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> ich bin neu hier und möchte an dieser Stelle alle erst
> einmal ganz herzlich Grüßen!
>
> Bei der obigen Aufgabe habe ich mir bisher folgendes
> überlegt:
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> 1. FALSCH. Als Gegenbeispiel habe ich f(x) = x betrachtet.
> Dann gilt der erste Teil der Aussage, aber das angegebene
> uneigentliche Integral existiert nicht.
> 2. WAHR. Um eine Algebra zu sein, muss die Menge R
> abgeschlossen unter Addition, Multiplikation und
> Multiplikation mit einer komplexen Zahl sein. Das ist der
> Fall.
> 3. Da bin ich mir unsicher. Mir fällt spontan kein
> Gegenspeil und auch keine Begründung ein.
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> Es wäre sehr nett von Euch, mir zu helfen. Sind 1. & 2.
> richtig? Was gilt für Aussage Nr. 3?
>
> Liebe Grüße
> Franziska
vorweg: Ich habe über die ersten beiden Aufgaben nicht viel nachgedacht, aber es sieht - denke ich - ganz vernünftig aus.
Zur 3en Aufgabe:
Betrachte (die stetige Funktion) $g(x)=|x|$ auf [mm] $[a,b]=[-1,1]\,.$ [/mm] Hier ist
[mm] $$G(x)=\begin{cases} \frac{-x^2}{2}+\frac{1}{2}, & \mbox{für } -1 \le x \le 0 \\ \frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}, & \mbox{für } 0 \le x \le 1 \end{cases}\,,$$
[/mm]
und klar ist auch $G'(x)=g(x)$ auf [mm] $[-1,1]\,.$ [/mm] Aber was ist mit $G''(0)=g'(0)$? (Existenz?)
Beste Grüße,
Marcel
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