Aussagesicherheit von Messung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Do 25.03.2010 | | Autor: | Lukke |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich schreibe eine Arbeit über die Aussagesicherheit von bestimmten Messungen.
Gemessen wird ein Wert Ki (im Bereich 0 - 0,8; auf 0,0001 genau), i ist die jeweilige Messung, N Messungen insgesamt
Daraus wird der quadratische Mittelwert als Endergebnis (auf 0,01 genau) genommen. [mm]Km=\wurzel \bruch{\summe_{i=1}^{N} Ki^2}{N}[/mm]
Die konkrete Aufgabenstellung ist: Nach wie vielen Messungen kann man mit 90% (oder 95%) Sicherheit sagen, dass sich das Endergebnis nicht mehr als z.B. 10% ändert?
Ich will das auch schön graphisch darstellen. Dazu habe ich in OpenOffice Calc (Exel) bereits eine Tabelle, die mir nach jeder Messung i den quadratischen Mittelwert Km,i der bisherigen Messungen ausrechnet.
Zu jedem dieser Km,i will ich ein Konfidenzintervall, das mir aussagt, dass der Km,i mit 90% (oder 95%) in einem Bestimmten Bereich liegt. Dieses Konfidenzintervall wird sich mit zunehmender Anzahl der Messungen immer enger an den Wahren Km annähern.
Nur wie mache ich das?
Ich kann das Konfidenzintervall (siehe wikipedia, "Erwartungswert eines normalverteilten Merkmals mit unbekannter Varianz.") nach i Messungen berechnen, dass die Messwerte mit 90% Sicherheit in einem bestimmten Bereich liegen.
Aber damit komme ich jetzt irgendwie nicht weiter, da der Km Wert das quadratische Mittel ist und die höheren Werte stärker gewichtet sind, für das Konfidenzintervall muss man (laut Wikipedia) das normale (lineare) Mittel berechnen!
Wie kann ich daraus ein Konfidenzintervall für die quadratischen Mittelwerte aller bisherigen Messungen (Km,i) berechnen? (geht das überhaupt?)
Oder darf / muss ich beim Konfidenzintervall mit dem quadratischen Mittel rechnen?
Oder ist das der falsche Ansatz und es lässt sich auch anders lösen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Do 01.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich gehe mal davon aus, das die Messungen [mm] K_i [/mm] alle unabhängig und normalverteilt sind mit gleichem Mittelwert und Varianz.
Unter dieser Voraussetzung ist die Größe
[mm] Y=\bruch{1}{\sigma^2}*\summe_{i=1}^{N}(K_i-\overline{K})^2
[/mm]
[mm] \chi^2 [/mm] verteilt, mit N-1 Freiheitsgraden.
Mit [mm] S^2=\bruch{1}{N-1}*\summe_{i=1}^{N}(K_i-\overline{K})^2 [/mm] folgt
[mm] Y=(N-1)*\bruch{S^2}{\sigma^2} [/mm] ist [mm] \chi^2 [/mm] verteilt mit N-1 Freiheitsgraden.
Mit [mm] \gamma=0.95 [/mm] als Konfidenzzahl folgt aus
[mm] P(Y\le c_1)=\bruch{1}{2}*(1-\gamma) [/mm] und [mm] P(Y\le c_2)=\bruch{1}{2}*(1+\gamma) [/mm] das
[mm] P(c_1 \le [/mm] Y [mm] \le c_2)=\gamma [/mm] gilt. Durch einsetzen von Y und auflösen nach [mm] \sigma^2 [/mm] folgt
[mm] \bruch{N-1}{c_2}*S^2 \le \sigma^2 \le \bruch{N-1}{c_1}*S^2
[/mm]
Wegen [mm] \sigma^2=E[(K-\overline{K})^2)=E(K^2)-[E(K)]^2 [/mm] folgt
[mm] \bruch{N-1}{c_2}*S^2+\overline{K}^2 \le \bruch{1}{N}*\summe_{i=1}^{N}K_1^2 \le \bruch{N-1}{c_1}*S^2+\overline{K}^2
[/mm]
Jetz auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und Du hast das gesuchte Konfidenzintervall.
[mm] \wurzel{\bruch{N-1}{c_2}*S^2+\overline{K}^2} \le \wurzel{\bruch{1}{N}*\summe_{i=1}^{N}K_1^2} \le \wurzel{\bruch{N-1}{c_1}*S^2+\overline{K}^2} [/mm] mit
[mm] \overline{K}=\bruch{1}{N}*\summe_{i=1}^{N}K_i
[/mm]
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