Austauschlemma < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 So 01.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Es seien u, v, w Vektoren eines K-Vektorraumes V.
Beweisen Sie, dass {u,v,w} genau dann eine Basis für V ist wenn {u+v+w, v+w, w} eine Basis für V ist. |
Frohes Neues an alle!
Also die Aufgabe verstehe ich als eine Anwendung des Austauschlemmas, liege ich da richtig?
Angenommen {u+v+w, v+w, w} wäre eine Basis, dann kann ich zb. u gegen u+v+w austauschen, wenn beide Vektoren linear unabhängig sind. Nun liegt mein Problem darin, dies zu beweisen. Für eine lin. Unabhängigkeit darf [mm] \lambda [/mm] in der folgenden Gleichung keinen Lösungswert annehmen.
[mm] \lambda*(u+v+w) [/mm] = u
[mm] \gdw \lambda*u [/mm] + [mm] \lambda*v [/mm] + [mm] \lambda*w [/mm] = u
[mm] \gdw (\lambda [/mm] - 1)*u + [mm] \lambda*v [/mm] + [mm] \lambda*w [/mm] = 0
[mm] \gdw (\lambda [/mm] - 1)*u + [mm] \lambda*(v+w) [/mm] = 0
So, nun kann u nur Null werden, wenn [mm] \lambda [/mm] = 1. In diesem Fall wäre aber der restliche Teil der Gleichung, also v+w, ungleich Null.
Analog dann mit der Vertauschung von v mit v+w.
Kann man da so argumentieren?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 So 01.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Es seien u, v, w Vektoren eines K-Vektorraumes V.
> Beweisen Sie, dass {u,v,w} genau dann eine Basis für V
> ist wenn {u+v+w, v+w, w} eine Basis für V ist.
> Frohes Neues an alle!
>
> Also die Aufgabe verstehe ich als eine Anwendung des
> Austauschlemmas, liege ich da richtig?
Halte ich fuer verfehlt, was aber nicht heisst, das es nicht irgendwie ginge.
> Angenommen {u+v+w, v+w, w} wäre eine Basis, dann kann ich
> zb. u gegen u+v+w austauschen, wenn beide Vektoren linear
> unabhängig sind. Nun liegt mein Problem darin, dies zu
> beweisen. Für eine lin. Unabhängigkeit darf [mm]\lambda[/mm] in
> der folgenden Gleichung keinen Lösungswert annehmen.
> [mm]\lambda*(u+v+w)[/mm] = u
> [mm]\gdw \lambda*u[/mm] + [mm]\lambda*v[/mm] + [mm]\lambda*w[/mm] = u
> [mm]\gdw (\lambda[/mm] - 1)*u + [mm]\lambda*v[/mm] + [mm]\lambda*w[/mm] = 0
> [mm]\gdw (\lambda[/mm] - 1)*u + [mm]\lambda*(v+w)[/mm] = 0
>
> So, nun kann u nur Null werden, wenn [mm]\lambda[/mm] = 1. In diesem
> Fall wäre aber der restliche Teil der Gleichung, also v+w,
> ungleich Null.
> Analog dann mit der Vertauschung von v mit v+w.
>
> Kann man da so argumentieren?
>
> Liebe Grüße
Deine Vorgehensweise ist fuer mich nicht richtig nachvollziehbar; auch wenn es hierfuer unerheblich ist,solltest Du Dir ruhig nocheinmal den Austauschsatz genau durchlesen.
Im Uebrigen zeige einfach zwei Dinge: Sei $V$ $3$-dimensional.
1. Wenn [mm] $\{u,v,w\}$ [/mm] linear unabhaengig ist und [mm] $\lambda(u+v+w)+ \mu(v+w)+ \nu [/mm] w= 0$, dann folgt [mm] $\lambda= \mu= \nu= [/mm] 0$.
2. Wenn [mm] $\{u+v+w, v+w,w\}$ [/mm] linear unabhaengig ist und [mm] $\lambda [/mm] u+ [mm] \mu [/mm] v+ [mm] \nu [/mm] w= 0$, dann folgt [mm] $\lambda= \mu= \nu= [/mm] 0$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Ok, ich habe mir noch mal das Auswahllemma durchgelesen und sofort erkannt, dass ich mich dabei geirrt habe. Hatte dann aber sofort eine andere Idee. Also hier noch mal das Lemma:
Sei V ein Körpervektorraum mit der Basis [mm] B=\{v_{1},...,v_{r}\} [/mm] und sei [mm] w:=\lambda_{1}*v_{1}+...+\lambda_{k}*v_{k}+...\lambda_{r}*v_{r}. [/mm] Wenn es nun ein k [mm] \in [/mm] {1,2,...,r} gibt mit [mm] \lambda_{k} \not= [/mm] 0, so ist [mm] B'=\{v_{1},...,v_{k-1},w,v_{k+1},...v_{r}\} [/mm] wieder eine Basis von V. Es kann also [mm] v_{k} [/mm] gegen w getauscht werden.
Auf die Aufgabe bezogen muss also u durch eine Linearkombination von [mm] \lambda_{1}*(u+v+w)+\lambda_{2}*(v+w)+\lambda_{3}*w [/mm] dargestellt werden können, damit ich u tauschen kann. Dies ist offensichtlich der Fall wenn ich z.B. [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-1 [/mm] setzte und [mm] \lambda_{3}=0 [/mm] oder schon durch [mm] \lambda_{1}=\bruch{u}{u+v+w} [/mm] und die anderen beiden Null. Also kann ich u gegen u+v+w tauschen und das ganze analog mit v und v+w.
Ist das diesmal richtig durchdacht?
Vielen Dank schon mal für die Mühe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mo 02.01.2012 | | Autor: | hippias |
O.K. Zu zeigen, dass Du die Elemente der einen Menge durch die Vektoren der anderen darstellen kannst, ist ein Moeglichkeit um die Behauptung zu beweisen. Dann weisst Du, das die entsprechenden $3$ Vektoren ebenfalls den ganzen Raum aufspannen und weil die Anzahlen gleich sind, bildet dann auch die andere Menge eine Basis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Di 03.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Hallo ich bins noch mal.
Kann ich das mit [mm] \lambda [/mm] 1 und -1 eigentlich sagen, weil ich doch eigentlich garnicht weiß, ob diese Zahlen überhaupt im Körper liegen. Oder verwechsele ich da wieder was?
Grüße
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> Hallo ich bins noch mal.
> Kann ich das mit [mm]\lambda[/mm]= 1 und =-1 eigentlich sagen, weil
> ich doch eigentlich garnicht weiß, ob diese Zahlen
> überhaupt im Körper liegen. Oder verwechsele ich da
> wieder was?
> Grüße
Hallo,
wenn Du Dich in einem beliebigen Körper K bewegst, und [mm] \lambda\in [/mm] K und dasteht [mm] \lambda=1, [/mm] dann bedeutet das nicht, daß [mm] \lambda [/mm] die natürliche Zahl 1 ist. Es bedeutet, daß [mm] \lambda [/mm] das neutrale Element bzgl. der Multiplikation in diesem Körper ist, -1 ist entsprechend dessen Inverses bzgl. der Addition und 0 steht für das neutrale Element bzgl der Addition.
Diese Elemente gibt es in jedem Körper.
Gruß v. Angela
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> schon durch
> [mm] \red{\lambda_{1}=\bruch{u}{u+v+w}} [/mm] und die anderen beiden Null.
Hallo,
als ich das gesehen habe, mußte ich sofort den Notarzt rufen, ich hoffe, er ist gleich da.
Mit meiner letzten Kraft frage ich Dich:
seit wann kann man denn durch Vektoren dividieren?
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Di 03.01.2012 | | Autor: | hippias |
Offenbar eine der vielen Neuerungen fuer dieses Jahr. Habe ich aber vollkommen ueberlesen.
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> Ok, ich habe mir noch mal das Auswahllemma durchgelesen und
> sofort erkannt, dass ich mich dabei geirrt habe. Hatte dann
> aber sofort eine andere Idee. Also hier noch mal das
> Lemma:
> Sei V ein Körpervektorraum mit der Basis
> [mm]B=\{v_{1},...,v_{r}\}[/mm] und sei
> [mm]w:=\lambda_{1}*v_{1}+...+\lambda_{k}*v_{k}+...\lambda_{r}*v_{r}.[/mm]
> Wenn es nun ein k [mm]\in[/mm] {1,2,...,r} gibt mit [mm]\lambda_{k} \not=[/mm]
> 0, so ist [mm]B'=\{v_{1},...,v_{k-1},w,v_{k+1},...v_{r}\}[/mm]
> wieder eine Basis von V. Es kann also [mm]v_{k}[/mm] gegen w
> getauscht werden.
Hallo,
der Satz stimmt doch so nicht, nimm [mm] w=1*v_1+0*v_2+...+0*v_r...
[/mm]
Du manövrierst Dich mit Deiner Austauschidee in den Morast - ich sage nicht, daß es auf keinen Fall irgendwie funktionieren, wird, aber die Begründung und Rechnung dürfte entschieden aufwendiger sein, als einfach zu zeigen, daß die fraglichen Mengen linear unabhängig sind.
LG Angela
>
> Auf die Aufgabe bezogen muss also u durch eine
> Linearkombination von
> [mm]\lambda_{1}*(u+v+w)+\lambda_{2}*(v+w)+\lambda_{3}*w[/mm]
> dargestellt werden können, damit ich u tauschen kann. Dies
> ist offensichtlich der Fall wenn ich z.B. [mm]\lambda_{1}=1[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}=-1[/mm] setzte und [mm]\lambda_{3}=0[/mm] oder schon durch
> [mm]\lambda_{1}=\bruch{u}{u+v+w}[/mm] und die anderen beiden Null.
> Also kann ich u gegen u+v+w tauschen und das ganze analog
> mit v und v+w.
>
> Ist das diesmal richtig durchdacht?
> Vielen Dank schon mal für die Mühe.
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