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Austauschprozesse: Tipp zu Aufgabe 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Di 28.03.2017
Autor: Lisa97

Aufgabe
Von einem Prozess ist das nebenstehende Zustandsdiagramm bekannt.
a) Bestimmen sie die Übergangsmatrix.
b) Bestimmen die einen Fixvektor.
c) Bei diesem Prozess sind 100 Individuen vorhanden, die zu Beginn alle in A sind. Bestimmen sie die langfristige Entwicklung.

Hallo.
Die Übergangsmatrix habe ich richtig.
   0,3  0,1  0,2
P= 0,4  0,9  0,5
   0,3  0,0  0,3

Ich komme bei der b) nicht auf die richtige Lösung. Kann mir jemand vielleicht das Lineare Gleichungssystem in Teilschritten ausrechnen ?
Vielen Dank schonmal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Austauschprozesse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Di 28.03.2017
Autor: angela.h.b.


> Von einem Prozess ist das nebenstehende Zustandsdiagramm
> bekannt.
> a) Bestimmen sie die Übergangsmatrix.
>  b) Bestimmen die einen Fixvektor.
>  c) Bei diesem Prozess sind 100 Individuen vorhanden, die
> zu Beginn alle in A sind. Bestimmen sie die langfristige
> Entwicklung.
>  Hallo.
>  Die Übergangsmatrix habe ich richtig.
>     0,3  0,1  0,2
>  P= 0,4  0,9  0,5
>     0,3  0,0  0,3
>  
> Ich komme bei der b) nicht auf die richtige Lösung. Kann
> mir jemand vielleicht das Lineare Gleichungssystem in
> Teilschritten ausrechnen ?

Hallo,

[willkommenmr].

Um einen Fixvektor zu finden, mußt Du das LGS

[mm] P\vec{x}=\vec{x} [/mm] lösen,

also [mm] \pmat{0.3&0.1&0.2\\0.4&0.9&0.5\\0.3&0.0&0.3}*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{x\\y\\z} [/mm]

[mm] <==>\pmat{0.3&0.1&0.2\\0.4&0.9&0.5\\0.3&0.0&0.3}*\vektor{x\\y\\z}-\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0} [/mm]

<==> [mm] \pmat{0.3&0.1&0.2\\0.4&0.9&0.5\\0.3&0.0&0.3}*\vektor{x\\y\\z}- \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0} [/mm]

<==> [mm] \pmat{-0.7&0.1&0.2\\0.4&-0.1&0.5\\0.3&0.0&-0.7}*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0} [/mm]

Bist Du auch zu diesem LGS gekommen?
Was hast Du dann getan? Was ast Du bekommen? Wo gab es ein Problem?
Uns interessieren Deine Lösungsversuche, denn oft kann man daran sehen, wo es hakt - und man kann Dir leichter passend zur Dir bekannten Vorgehensweise weiterhelfen.

Wenn ich die Koeffizientenmatrix

[mm] \pmat{-0.7&0.1&0.2&|&0\\0.4&-0.1&0.5&|&0\\0.3&0.0&-0.7&|&0} [/mm]

in Dreiecksform bringe,
erhalte ich

[mm] \pmat{-7&1&2&|&0\\0&-3&43&|&0\\0&0&0&|&0}. [/mm]

Die vorletzte Zeile liefert

3y=43z, also [mm] y=\bruch{43}{3}z, [/mm]

die erste 7x=y+2z , also [mm] 7x=\bruch{43}{3}z+2z=\bruch{49}{3}z, [/mm]
also
[mm] x=\bruch{7}{3}z. [/mm]

Alle Vektoren der Gestalt [mm] \vektor{\bruch{7}{3}z\\\bruch{43}{3}z\\z} [/mm] lösen das LGS.

Also etwa der Vektor [mm] \vektor{7\\43\\3}. [/mm]
Damit ist ein Fixvektor gefunden. Es gibt viele andere.

LG Angela








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