Austauschsatz von Steinitz < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich hab so meine Probleme mit dem Austauschsatz von Steinitz:
theoretisch hab ich ihn so lala verstanden,aber ich wär mal echt dankbar über ein konkretes BSP mit evtl Erklärungen.
Mir is klar,wenn ich w1 und w2 (Vektoren) hat, sagen wir in [mm] R^3...
[/mm]
dann kann man diese um einen Vektor v erweitern, solange v ein Teil einer Basis zu [mm] R^3 [/mm] ist.
Hier bietet sich natürlich die kanonische Basis an.
Kann mir mal jemand ein BSP vorrechnen??
Danke
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Hallo ahnungsloseStudentin, und ein etwas verspätetes ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da hast Du noch etwas falsch verstanden:
> Mir is klar,wenn ich w1 und w2 (Vektoren) hat, sagen wir
> in [mm]R^3...[/mm]
> dann kann man diese um einen Vektor v erweitern, solange v
> ein Teil einer Basis zu [mm]R^3[/mm] ist.
Jeder Vektor ist Teil irgendeiner Basis, außer dem Nullvektor. Was Du da sagst, sagt also nichts.
> Hier bietet sich natürlich die kanonische Basis an.
Da hören wir nicht auf, da fangen wir mal an und nehmen sie als Beispiel, am besten gleich im [mm] \IR^n. [/mm] Steinitz sagt: wenn Du m linear unabhängige Vektoren im [mm] \IR^n [/mm] hast, mit [mm] m\le{n}, [/mm] dann kannst Du m Vektoren der kanonischen Basis (Steinitz sagt: jeder Basis!) gegen Deinen Satz linear unabhängiger Vektoren austauschen und behältst immer noch eine Basis.
Steinitz sagt nicht, welche das sind, sondern nur, dass es immer möglich ist, wenn Deine m Vektoren die einzige Bedingung erfüllen, linear unabhängig zu sein.
![[]](/images/popup.gif) Hier findest Du eine recht ausführliche Darstellung des Satzes. Vielleicht ist er so verständlicher.
> Kann mir mal jemand ein BSP vorrechnen??
> Danke
Im [mm] \IR^5 [/mm] seien folgende Vektoren gegeben:
Aufgabe a)
[mm] \vektor{1\\-1\\0\\4\\0}, \vektor{0\\1\\3\\0\\1}, \vektor{0\\2\\0\\0\\-1}, \vektor{0\\0\\0\\2\\0}
[/mm]
Aufgabe b)
[mm] \vektor{1\\-1\\0\\4\\0}, \vektor{0\\1\\3\\0\\1}, \vektor{0\\2\\0\\0\\-1}, \vektor{0\\0\\2\\0\\0}
[/mm]
Ersetze mit diesen Vektoren so viele Vektoren der kanonischen Basis wie möglich.
lg
reverend
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