Austauschsatz von Steinitz < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Fr 16.12.2011 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Es seien die Vektoren [mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3}, v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}, v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] w_{1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 2}, w_{2} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
aus dem [mm] \IR^{3} [/mm] (aufgefasst als [mm] \IR [/mm] Vektorraum) gegebeb.
a) Man zeige, dass [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] bildet.
--> erledigt
b) Man überprüfe die Vorraussetzungen für den Austauschsatz von Steinitz für die Basis [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] und die Vektoren [mm] w_{1}, w_{2}.
[/mm]
c) Man tausche 2 der Vektoren [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] mit [mm] w_{1}, w_{2} [/mm] aus. Man gebe also explizit eine im Austauschsatz von Steinitz behauptete Basis an. |
Hey Leute,
wieder mal ne Frage von mir.
Und zwar versteh ich wohl nicht ganz was mit den Vorraussetzungen für den Austauschsatz gemeint ist.
Ich hab ja in a) gezeigt, dass [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] eine Basis von [mm] \IR^{3} [/mm] bildet, d.h. die 3 Vektoren sind linear unabhängig.
Jetzt muss ich doch rein theoretisch zeigen, dass [mm] w_{1}, w_{2} [/mm] linear unabhängig sind oder nicht ?
Damit ich die beiden Vektoren dann in der Aufgabe c) in die Basis eintauschen kann.
Nur sind das alle Vorraussetzungen ?
Müssen nur die Vektoren [mm] w_{1}, w_{2} [/mm] auch linear unabhängig sein oder muss ich noch was überprüfen ? Also z.B. mit welchem der 3 Vektoren ( [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] ) [mm] w_{1}, w_{2} [/mm] wieder linear unabhängig sind ?
Vielen Dank schon mal für eure Antworten !
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> Es seien die Vektoren [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
1 \\
3}, v_{2}[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\
0 \\
-1}, v_{3}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\
1 \\
2}[/mm]
> [mm]w_{1}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\
2 \\
2}, w_{2}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\
2 \\
-1}[/mm]
> aus
> dem [mm]\IR^{3}[/mm] (aufgefasst als [mm]\IR[/mm] Vektorraum) gegebeb.
> a) Man zeige, dass [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}[/mm] eine Basis des
> [mm]\IR^{3}[/mm] bildet.
> --> erledigt
> b) Man überprüfe die Vorraussetzungen für den
> Austauschsatz von Steinitz für die Basis [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}[/mm]
> und die Vektoren [mm]w_{1}, w_{2}.[/mm]
> c) Man tausche 2 der
> Vektoren [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}[/mm] mit [mm]w_{1}, w_{2}[/mm] aus. Man gebe
> also explizit eine im Austauschsatz von Steinitz behauptete
> Basis an.
>
> Hey Leute,
>
> wieder mal ne Frage von mir.
> Und zwar versteh ich wohl nicht ganz was mit den
> Vorraussetzungen für den Austauschsatz gemeint ist.
Hallo
es wäre nicht ganz ungeschickt, würdest Du an dieser Stelle Eure Formulierung des Basisaustauschsatzes angeben - aber ich denke, wir bekommen es auch so hin.
>
> Ich hab ja in a) gezeigt, dass [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}[/mm] eine
> Basis von [mm]\IR^{3}[/mm] bildet, d.h. die 3 Vektoren sind linear
> unabhängig.
> Jetzt muss ich doch rein theoretisch zeigen, dass [mm]w_{1}, w_{2}[/mm]
> linear unabhängig sind oder nicht ?
Ich würde das nicht "rein theoretisch" zeigen, sondern grad mal durch"rechnen".
> Damit ich die beiden Vektoren dann in der Aufgabe c) in
> die Basis eintauschen kann.
> Nur sind das alle Vorraussetzungen ?
> Müssen nur die Vektoren [mm]w_{1}, w_{2}[/mm] auch linear
> unabhängig sein oder muss ich noch was überprüfen ? Also
> z.B. mit welchem der 3 Vektoren ( [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}[/mm] )
> [mm]w_{1}, w_{2}[/mm] wieder linear unabhängig sind ?
Damit der Basisaustauschsatz greift, brauchst Du als Voraussetzung eine Basis und eine linear unabhängig Menge.
Mehr nicht.
Wie man dann tauscht, ist nicht Inhalt des Basisaustauschsatzes und nicht die Frage, die in b) gestellt wird.
Tauschen tust Du dann in c).
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank schon mal für eure Antworten !
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