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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Mo 22.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] Aut(S_3)=Inn(S_3). [/mm] |
Hallo, ich benötige bitte ein bisschen Hilfe für diese Aufgabe.
Ich finde diese Aufgabe komisch: Sie soll mit 6 Punkten bewertet werden, dabei kommt sie mir eigentlich zu einfach vor...
Die Gruppe [mm] Aut(S_3) [/mm] besteht ja aus den Elementen von [mm] S_3 [/mm] selbst, da ein Automorphismus ein Isomorphismus von [mm] S_3 [/mm] nach [mm] S_3 [/mm] selbst ist, wobei die 1 festgehalten wird. Da ergeben sich eben dann die Elemente von [mm] S_3 [/mm] selbst.
Also: [mm] Aut(S_3)\cong S_3.
[/mm]
Sei also [mm] \alpha \in Aut(S_3). [/mm] Ich muss jetzt zeigen, dass es auch in [mm] Inn(S_3) [/mm] liegt.
Dazu bilde ich halt die Konjugate.
Und ich bekomme dann heraus, dass auch [mm] Inn(S_3)\cong S_3.
[/mm]
Und da [mm] Inn(S_3) [/mm] Untergruppe von [mm] Aut(S_3) [/mm] ist und gilt:
[mm] 6=|Inn(S_3)|\le |Aut(S_3)|=6 [/mm] folgt die Behauptung.
Das kann es doch nicht schon gewesen sein??
Kann ich mir gar nicht vorstellen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]Aut(S_3)=Inn(S_3).[/mm]
> Hallo, ich benötige bitte ein bisschen Hilfe für diese
> Aufgabe.
>
> Ich finde diese Aufgabe komisch: Sie soll mit 6 Punkten
> bewertet werden, dabei kommt sie mir eigentlich zu einfach
> vor...
>
> Die Gruppe [mm]Aut(S_3)[/mm] besteht ja aus den Elementen von [mm]S_3[/mm]
Wieso das?
> selbst, da ein Automorphismus ein Isomorphismus von [mm]S_3[/mm]
> nach [mm]S_3[/mm] selbst ist, wobei die 1 festgehalten wird. Da
> ergeben sich eben dann die Elemente von [mm]S_3[/mm] selbst.
Das ergibt fuer mich keinen Sinn. Wenn schon kannst du einen Automorphismus als ein Element von [mm] $S_5$ [/mm] auffassen (da $5 = 3! - 1$).
> Also: [mm]Aut(S_3)\cong S_3.[/mm]
Das stimmt nicht.
(Die Automorphismengruppe hat uebrigens ![[]](/images/popup.gif) genau zwei Elemente.)
> [...]
> Das kann es doch nicht schon gewesen sein??
Nein, das war naemlich auch falsch.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 23.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Okay, alles falsch.
Aber wie geht der Beweis dann? |
Kann ich eine Hilfe bzw. einen Tipp bekommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Do 25.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Okay, alles falsch.
>
> Aber wie geht der Beweis dann?
> Kann ich eine Hilfe bzw. einen Tipp bekommen?
Eine Beweisskizze, warum es keine aeusseren Automorphismen gibt, steht doch im Link.
Genauer: es steht hier.
Du kannst ja mal versuchen, die Aussagen dort zu beweisen.
LG Felix
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