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Hier geht es um keine Aufgabe, sondern um ein Verständnisproblem.
Folgender Sachverhalt sollte gelten:
Sei K ein Körper, C sein algebraischer Abschluss. f sei das Mipo von [mm] K(\alpha) [/mm] und habe n verschiedene Nullstellen in C.
[mm] \beta [/mm] heißt konjugiert zu [mm] \alpha, [/mm] wenn es einen Automorphismus [mm] \sigma [/mm] von C/K gibt, mit [mm] \sigma(\alpha)=\beta.
[/mm]
Das habe ich jetzt hoffentlich richtig aus dem Buch "Einführung in die Algebra" von Falko Lorenz wiedergegeben.
Jetzt soll weiter folgen:
Es gibt genau n verschiedene Homomorphismen von [mm] K(\alpha)/K [/mm] in C/K.
Beweis(laut obigem Buch): Ein Homomorphismus [mm] \tau: K(\alpha)/K \to [/mm] C/K ist durch Angabe von [mm] \tau(\alpha) [/mm] festgelegt.
Das ist mir nicht klar.
Ich weiß, dass eine Nullstelle des Mipos wieder auf eine andere Nullstelle abgebildet wird.
Wenn ich mir jetzt aber vorstelle, f habe 4 Nullstellen: [mm] \alpha, \beta, \gamma, \delta.
[/mm]
Dann würde obige Aussage für mich bedeuten, dass es genau einen Homomorphismus gibt, der [mm] \alpha [/mm] auf [mm] \alpha [/mm] abbildet (die Identität). Ebenso einen, der [mm] \alpha [/mm] auf [mm] \beta [/mm] abbildet. Dasselbe für [mm] \alpha [/mm] auf [mm] \delta [/mm] und [mm] \alpha [/mm] auf [mm] \gamma.
[/mm]
Meine eigentliche Frage ist:
Warum kann es nicht z.B. einen Homorphismus geben, der [mm] \alpha [/mm] auf [mm] \alpha [/mm] abbildet und [mm] \beta [/mm] auf [mm] \beta [/mm] und einen weiteren Homomorphismus, der [mm] \alpha [/mm] auf [mm] \alpha [/mm] abbildet und [mm] \beta [/mm] auf [mm] \delta? [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Mo 17.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hier geht es um keine Aufgabe, sondern um ein
> Verständnisproblem.
>
> Folgender Sachverhalt sollte gelten:
>
> Sei K ein Körper, C sein algebraischer Abschluss. f sei
> das Mipo von [mm]K(\alpha)[/mm] und habe n verschiedene Nullstellen
> in C.
>
> [mm]\beta[/mm] heißt konjugiert zu [mm]\alpha,[/mm] wenn es einen
> Automorphismus [mm]\sigma[/mm] von C/K gibt, mit
> [mm]\sigma(\alpha)=\beta.[/mm]
>
> Das habe ich jetzt hoffentlich richtig aus dem Buch
> "Einführung in die Algebra" von Falko Lorenz
> wiedergegeben.
Ja, hast du.
> Jetzt soll weiter folgen:
>
> Es gibt genau n verschiedene Homomorphismen von [mm]K(\alpha)/K[/mm]
> in C/K.
>
> Beweis(laut obigem Buch): Ein Homomorphismus [mm]\tau: K(\alpha)/K \to[/mm]
> C/K ist durch Angabe von [mm]\tau(\alpha)[/mm] festgelegt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das ist mir nicht klar.
> Ich weiß, dass eine Nullstelle des Mipos wieder auf eine
> andere Nullstelle abgebildet wird.
>
> Wenn ich mir jetzt aber vorstelle, f habe 4 Nullstellen:
> [mm]\alpha, \beta, \gamma, \delta.[/mm]
> Dann würde obige Aussage
> für mich bedeuten, dass es genau einen Homomorphismus
> gibt, der [mm]\alpha[/mm] auf [mm]\alpha[/mm] abbildet (die Identität).
Genau. Das ist die Inklusionsabbildung [mm] $K(\alpha) \to [/mm] C$.
> Ebenso einen, der [mm]\alpha[/mm] auf [mm]\beta[/mm] abbildet. Dasselbe für
> [mm]\alpha[/mm] auf [mm]\delta[/mm] und [mm]\alpha[/mm] auf [mm]\gamma.[/mm]
>
> Meine eigentliche Frage ist:
>
> Warum kann es nicht z.B. einen Homorphismus geben, der
> [mm]\alpha[/mm] auf [mm]\alpha[/mm] abbildet und [mm]\beta[/mm] auf [mm]\beta[/mm] und einen
> weiteren Homomorphismus, der [mm]\alpha[/mm] auf [mm]\alpha[/mm] abbildet und
> [mm]\beta[/mm] auf [mm]\delta?[/mm]
Nun, wenn [mm] $\beta \in K(\alpha)$ [/mm] liegt, dann muss der eindeutig bestimmte Homomorphimus [mm] $K(\alpha) \to [/mm] C$ der [mm] $\alpha$ [/mm] auf [mm] $\alpha$ [/mm] abbildet (naemlich die Inklusionsabbildung) auch [mm] $\beta$ [/mm] auf [mm] $\beta$ [/mm] abbilden.
Wenn jedoch [mm] $\beta \not\in K(\alpha)$ [/mm] ist, dann bildet der Homomorphismus [mm] $\beta$ [/mm] erst gar nicht ab. Schliesslich ist er nur auf [mm] $K(\alpha)$ [/mm] definiert.
Du kannst jetzt jedoch Homomorphismen [mm] $K(\alpha, \beta, \gamma, \delta) \to [/mm] C$ betrachten (deren Bild ist immer gleich [mm] $K(\alpha, [/mm] beta, [mm] \gamma, \delta)$, [/mm] falls das Minimalpolynom genau diese vier Nullstellen hat). Hier kann es durchaus welche geben, die [mm] $\alpha$ [/mm] festhalten, [mm] $\beta$ [/mm] aber z.B. nicht.
Betrachte z.B. [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \sqrt[4]{2}$ [/mm] und $f = [mm] X^4 [/mm] - 2$. Dann ist [mm] $\beta [/mm] = i [mm] \alpha$, $\gamma [/mm] = [mm] -\alpha$ [/mm] und [mm] $\delta [/mm] = -i [mm] \alpha$. [/mm] Die komplexe Konjugation (eingeschraenkt auf [mm] $\IQ(\alpha, \beta, \gamma, \delta)$) [/mm] gibt nun einen Homomorphismus, der [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\gamma$ [/mm] jeweils auf sich selber abbildet, jedoch [mm] $\beta$ [/mm] auf [mm] $\delta$ [/mm] und umgekehrt.
LG Felix
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> Nun, wenn $ [mm] \beta \in K(\alpha) [/mm] $ liegt, dann muss der eindeutig
> bestimmte Homomorphimus $ [mm] K(\alpha) \to [/mm] C $ der $ [mm] \alpha [/mm] $ auf $
> [mm] \alpha [/mm] $ abbildet (naemlich die Inklusionsabbildung) auch $ [mm] \beta [/mm] $ auf
> $ [mm] \beta [/mm] $ abbilden.
Aus der Tatsache, dass [mm] \alpha [/mm] auf sich selbst abgebildet wird, kann ich folgern, dass alle Elemente aus [mm] K(\alpha) [/mm] auf sich selbst abgebildet werden. Also auch [mm] \beta, \gamma, \delta, [/mm] falls sie in [mm] K(\alpha) [/mm] liegen.
Wenn jetzt jedoch [mm] \alpha [/mm] auf [mm] \beta [/mm] abgebildet worauf kann dann z.B. [mm] \gamma [/mm] abgebildet werden?
Da darf es dann ja auch nur eine Möglichkeit geben.
Wie sieht man das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Di 18.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Nun, wenn [mm]\beta \in K(\alpha)[/mm] liegt, dann muss der
> eindeutig
> > bestimmte Homomorphimus $ [mm]K(\alpha) \to[/mm] C $ der $ [mm]\alpha[/mm] $
> auf $
> > [mm]\alpha[/mm] $ abbildet (naemlich die Inklusionsabbildung) auch $
> [mm]\beta[/mm] $ auf
> > [mm]\beta[/mm] abbilden.
>
> Aus der Tatsache, dass [mm]\alpha[/mm] auf sich selbst abgebildet
> wird, kann ich folgern, dass alle Elemente aus [mm]K(\alpha)[/mm]
> auf sich selbst abgebildet werden. Also auch [mm]\beta, \gamma, \delta,[/mm]
> falls sie in [mm]K(\alpha)[/mm] liegen.
>
> Wenn jetzt jedoch [mm]\alpha[/mm] auf [mm]\beta[/mm] abgebildet worauf kann
> dann z.B. [mm]\gamma[/mm] abgebildet werden?
Wenn [mm] $\gamma \in K(\alpha)$ [/mm] ist, dann gibt es [mm] $a_i \in [/mm] K$ mit [mm] $\gamma [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n a_i \alpha^i$. [/mm] Damit ist das Bild von [mm] $\gamma$ [/mm] durch das von [mm] $\alpha$ [/mm] bestimmt, da der Homomorphismus $K$-linear ist.
LG Felix
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