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| Aufgabe | Wir betrachten den Graphen $(X,E)$ mit Knotenmenge [mm] $X=\{1,2,3,4,1',2',3',4'\}$ [/mm] und Kantenmenge [mm] $E=\{12,23,34,14,1'2',2'3',3'4',1'4',11',22',33',44'\}$. [/mm] Bestimme seine Automorphismengruppe [mm] $G:=Aut(X,E)\subset [/mm] Per(X) [mm] \cong S_8$ [/mm] (insbesondere ihre Ordnung) mit Hilfe der Operation von $G$ auf der Menge $X$.
Anleitung: Zeige, dass diese Operation transitiv ist und bestimme den Stabilisator [mm] $Stab_G(1)=G_1$. [/mm] Vergleiche dazu folgenden Satz:
Die Gruppe $G$ operiere auf der Menge $X$, es sei $x [mm] \in [/mm] X$. Dann ist die Abbildung
[mm] $G/G_x \to [/mm] G.x$ , [mm] $gG_x \mapsto [/mm] g.x$
wohldefiniert und bijektiv. Insbesondere ist die Länge der Bahn von $x$ gleich dem Index des Stabilisators [mm] $(G:G_x)$. [/mm] |
Hallo Zusammen,
ich bräuchte mal ganz dringend eure Hilfe bei dieser Aufgabe, ich komme da echt nicht weiter. Also ich hab das ganze erstmal gezeichnet. Das sind dann zwei Quadrate, ein großes und ein kleines, das in dem großen "drin liegt", zudem sind die Eckpunkte des kleine Quadrates mit dem des großen Quadrates verbunden. Ich hoffe man kann sich das vorstellen.
Zur Aufgabe: Also dass $G$ überhaupt auf $X$ operiert hab ich mal als klar vorausgesetzt bzw. ich habe geschrieben, dass sich diese Eigenschaft von $Per(X)$ vererbt.
Dass die Operation transitiv ist, hab ich so begründet, dass
1. $Per(X)$ auf $X$ transitiv operiert
2. [mm] $G\subset [/mm] Per(X)$ als Teilmenge auch transitiv auf $X$ operiert weil man durch "Drehung um 90°" (als Zykel $(1234)(1'2'3'4')$ ) und durch vertauschen des "inneren" und "äußeren" "Quadrats" durch $(11')(22')(33')(44')$ jeden Punkt erreich und trotzdem die Kanten erhält, also den Graphen an sich nicht verändert.
Ok, dann ist das Ding also transitiv. Die einzige "gute" Folgerung daraus ist meiner Meinung nach, dass es dann nur genau eine Bahn gibt.
Dann zum Stabilisator von 1. Also ich suche alle Permutationen der Knoten, so dass 1 fix bleibt. Da gibt es ja eigentlich nur die Spiegelung an der Geraden durch die Punkte 1 und 3 und natürlich die Identität. Der Stabilisator von 1 hat also die Ordnung 2.
Jetzt hab ich mal versucht diesen Satz anzuwenden:
Die Länge der Bahn ist gleich dem Index des Stabilisators:
Also ist [mm] $\bruch{|G|}{|G_1|}=|G.1|$ [/mm] also [mm] $\bruch{|G|}{2}=|G.1|$
[/mm]
Na toll. Aber ich weiß weder die Mächtigkeit der Bahn (ich weiß nur, dass es nur eine gibt) noch die Mächtigkeit von $G$. Und selbst wenn ich sie wüsste....würde dann da so etwas herauskommen wie "Mächtigkeit von $G$ ist 8" und dann wüsste ich, dass $G$ die Diedergruppe [mm] $D_4$ [/mm] ist (was ich insgeheim schon lange vermute)....?
Ich bin da echt am verzweifeln. Es wäre echt super, wenn sich jemand erbarmen könnte mir zu helfen. Ich sitz da echt schon so lange dran.
Vielen vielen Dank im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Do 03.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo rainman,
> ich bräuchte mal ganz dringend eure Hilfe bei dieser
> Aufgabe, ich komme da echt nicht weiter. Also ich hab das
> ganze erstmal gezeichnet. Das sind dann zwei Quadrate, ein
> großes und ein kleines, das in dem großen "drin liegt",
> zudem sind die Eckpunkte des kleine Quadrates mit dem des
> großen Quadrates verbunden. Ich hoffe man kann sich das
> vorstellen.
Ja. Ich habe mir den Graphen übrigens als 3-dimensionalen Würfel vorgestellt.
> Zur Aufgabe: Also dass [mm]G[/mm] überhaupt auf [mm]X[/mm] operiert hab ich
> mal als klar vorausgesetzt bzw. ich habe geschrieben, dass
> sich diese Eigenschaft von [mm]Per(X)[/mm] vererbt.
Ich glaube auch, dass hier keine nähere Begründung erwartet wird.
> Dass die Operation transitiv ist, hab ich so begründet,
> dass
> [mm] $\red($1.[/mm] [mm]Per(X)[/mm] auf [mm]X[/mm] transitiv [mm] operiert$\red)$
[/mm]
> 2. [mm]G\subset Per(X)[/mm] als Teilmenge auch transitiv auf [mm]X[/mm]
> operiert weil man durch "Drehung um 90°" (als Zykel
> [mm](1234)(1'2'3'4')[/mm] ) und durch vertauschen des "inneren" und
> "äußeren" "Quadrats" durch [mm](11')(22')(33')(44')[/mm] jeden
> Punkt erreich und trotzdem die Kanten erhält, also den
> Graphen an sich nicht verändert.
Ja. Ich würde konkret angeben, mit welchen Verkettungen dieser beiden Automorphismen du die 1 auf welchen Punkt abbilden kannst.
> Dann zum Stabilisator von 1. Also ich suche alle
> Permutationen der Knoten, so dass 1 fix bleibt. Da gibt es
> ja eigentlich nur die Spiegelung an der Geraden durch die
> Punkte 1 und 3 und natürlich die Identität. Der
> Stabilisator von 1 hat also die Ordnung 2.
Da fehlen noch einige Automorphismen.
Um einen Ansatz zu finden, die Automorphismen aus dem Stabilisator [mm] $G_1$ [/mm] einzugrenzen, habe ich mir angeguckt, welche "Abstände" welche Knoten von 1 haben, d.h. wie viele Kanten man minimal benötigt, um von 1 zum jeweiligen Knoten zu gelangen. Diese Abstände werden nämlich von Automorphismen erhalten.
> Jetzt hab ich mal versucht diesen Satz anzuwenden:
> Die Länge der Bahn ist gleich dem Index des
> Stabilisators:
> Also ist [mm]\bruch{|G|}{|G_1|}=|G.1|[/mm] also
> [mm]\bruch{|G|}{2}=|G.1|[/mm]
>
> Na toll. Aber ich weiß weder die Mächtigkeit der Bahn
> (ich weiß nur, dass es nur eine gibt)
Die Bahn $G.1$ ist die Menge aller [mm] $x\in [/mm] X$, für die es ein [mm] $g\in [/mm] G$ gibt mit $g(1)=x$. $G.1$ ist also die Menge aller Knoten, auf die sich der Knoten 1 durch einen Automorphismus abbilden lässt. Du hast oben bereits festgestellt, dass alle acht Knoten diese Eigenschaft haben. Also $G.1=X$.
Bei transitiven Operationen einer Gruppe G auf einer Menge X ist die (einzige) Bahn übrigens immer ganz X. Denn X ist die (disjunkte) Vereinigung der Bahnen.
> noch die
> Mächtigkeit von [mm]G[/mm].
Die kannst du anhand von [mm] $\bruch{|G|}{|G_1|}=|G_1|=|X|=8$ [/mm] bestimmen, wenn du [mm] $|G_1|$ [/mm] korrekt ermittelt hast.
> Und selbst wenn ich sie
> wüsste....würde dann da so etwas herauskommen wie
> "Mächtigkeit von [mm]G[/mm] ist 8" und dann wüsste ich, dass [mm]G[/mm] die
> Diedergruppe [mm]D_4[/mm] ist (was ich insgeheim schon lange
> vermute)....?
Nein, G ist größer.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Mo 07.05.2012 | | Autor: | rainman_do |
Vielen Dank, du hast mir sehr geholfen. Jetzt hab ich das endlich verstanden, was gemeint war. Das mit dem Würfel hatte ich auch schon die ganze Zeit im Gefühl...habs aber etwas doof gezeichnet. Im Grunde war das gesuchte G ja dann einfach die Würfelgruppe (also die Symmetriegruppe des Würfels) naja...muss man auch erstmal drauf kommen...
Viele Dank nochmal und viele Grüße,
rainman
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