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| Aufgabe | Beweise: In zyklischen Gruppen ist die Abbildung f, die jedem Element das inverse Element
zuordnet, ein Automorphismus. |
Hallo,
auch bei dieser Aufgabe habe ich eine Frage, bzw. bin mir überhaupt nicht sicher, ob meine Lösung inhaltlich und formal richtig ist.
z.zg: f: [mm] (G,\circ)->(G,\circ) [/mm] mit [mm] (G,\circ) [/mm] zyklisch, [mm] x\mapsto [/mm] x^-1 ist ein Automorphismus, also strukturerhaltend und bijektiv.
Beweis der Strukturerhaltung:
Sei h Erzeuger von [mm] (G,\circ) [/mm] und seien [mm] x=h^n [/mm] und y= [mm] h^m.
[/mm]
z.zg: [mm] f(x\circ [/mm] y)=f(x) [mm] \circ [/mm] f(y).
[mm] f(x\circ [/mm] y)=f(x) [mm] \circ [/mm] f(y)
[mm] \gdw f(h^n \circ h^m) [/mm] = [mm] f(h^n) \circ f(h^m)
[/mm]
[mm] \gdw f(h^{n+m}) [/mm] = [mm] (h^n)^{-1} \circ (h^m)^{-1}
[/mm]
[mm] \gdw (h^{n+m})^{-1} [/mm] = [mm] h^{-n} \circ h^{-m}
[/mm]
[mm] \gdw h^{-n-m} [/mm] = [mm] h^{-n+(-m)} [/mm] = [mm] h^{-n-m}
[/mm]
Kann man das so beweisen?
Beweis Bijektivität:
Hier bekomme ich irgendwie keinen Ansatz hin, wie ich das formal zeigen kann. Könnt ihr mir helfen?
Liebe Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mi 12.01.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Beweise: In zyklischen Gruppen ist die Abbildung f, die
> jedem Element das inverse Element
> zuordnet, ein Automorphismus.
> Hallo,
> auch bei dieser Aufgabe habe ich eine Frage, bzw. bin mir
> überhaupt nicht sicher, ob meine Lösung inhaltlich und
> formal richtig ist.
>
> z.zg: f: [mm](G,\circ)->(G,\circ)[/mm] mit [mm](G,\circ)[/mm] zyklisch,
> [mm]x\mapsto[/mm] x^-1 ist ein Automorphismus, also
> strukturerhaltend und bijektiv.
>
> Beweis der Strukturerhaltung:
> Sei h Erzeuger von [mm](G,\circ)[/mm] und seien [mm]x=h^n[/mm] und y= [mm]h^m.[/mm]
> z.zg: [mm]f(x\circ[/mm] y)=f(x) [mm]\circ[/mm] f(y).
>
> [mm]f(x\circ[/mm] y)=f(x) [mm]\circ[/mm] f(y)
> [mm]\gdw f(h^n \circ h^m)[/mm] = [mm]f(h^n) \circ f(h^m)[/mm]
> [mm]\gdw f(h^{n+m})[/mm]
> = [mm](h^n)^{-1} \circ (h^m)^{-1}[/mm]
> [mm]\gdw (h^{n+m})^{-1}[/mm] = [mm]h^{-n} \circ h^{-m}[/mm]
>
> [mm]\gdw h^{-n-m}[/mm] = [mm]h^{-n+(-m)}[/mm] = [mm]h^{-n-m}[/mm]
>
> Kann man das so beweisen?
Ja, wenn man vorher [mm] h^{-n} [/mm] definiert hat, z. B. [mm] h^{-n} [/mm] := [mm] (h^n)^{-1} [/mm] und dann gezeigt hat, daß [mm] h^{-n} [/mm] = [mm] (h^{-1})^n [/mm] ist. Das sollte in der Vorlesung oder in einer Übungsaufgabe geschehen sein.
> Beweis Bijektivität:
> Hier bekomme ich irgendwie keinen Ansatz hin, wie ich das
> formal zeigen kann. Könnt ihr mir helfen?
Zum Beweis mußt du zeigen: f(x) = f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x = y. Aber das ist doch ein Klacks für dich. (Weil es ein Homomorphismus ist, würde sogar reichen: f(x) = e [mm] \Rightarrow [/mm] x = e.)
Gruß
Dieter
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> Ja, wenn man vorher [mm]h^{-n}[/mm] definiert hat, z. B. [mm]h^{-n}[/mm] :=
> [mm](h^n)^{-1}[/mm] und dann gezeigt hat, daß [mm]h^{-n}[/mm] = [mm](h^{-1})^n[/mm]
> ist. Das sollte in der Vorlesung oder in einer
> Übungsaufgabe geschehen sein.
Okay, da gucke ich mal nach, kann aber gut sein.
>
> Zum Beweis mußt du zeigen: f(x) = f(y) [mm]\Rightarrow[/mm] x = y.
> Aber das ist doch ein Klacks für dich. (Weil es ein
> Homomorphismus ist, würde sogar reichen: f(x) = e
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = e.)
>
Alles klar, das war wirklich nur eine Denkblockade....
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Oh, entschuldige, das Wichtigste habe ich vergessen:
Vielen Dank!! 
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mo 21.02.2011 | | Autor: | ehade |
Meine Frage ist die:
Könnte man den Beweis folgendermaßen durchführen:
Wir wissen: Element x verknüpft mit seinem Inversen x^-1 ergibt das Neutrale Element
So muss bei der Anwendung der oben charakterisierten Abbildung doch stets das e-element rauskommen.
Wir wissen: Für Automorphismen gilt: f(x*y) = f(x) * f(y)
Also:
f(x*y) = e (Es wird jeden Element (auch x*y) das Inverse zugeordnet )
f(x) * f(y) = e * e = e (Neutrales Element ist Selbstinvers)
Also f(x*y) = e = f(x) * f(y)
Und schwuppdiwupp: f ist ein Automoprhismus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Di 22.02.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Meine Frage ist die:
> Könnte man den Beweis folgendermaßen durchführen:
>
> Wir wissen: Element x verknüpft mit seinem Inversen x^-1
> ergibt das Neutrale Element
> So muss bei der Anwendung der oben charakterisierten
> Abbildung doch stets das e-element rauskommen.
> Wir wissen: Für Automorphismen gilt: f(x*y) = f(x) * f(y)
>
> Also:
> f(x*y) = e (Es wird jeden Element (auch x*y) das
> Inverse zugeordnet )
> f(x) * f(y) = e * e = e (Neutrales Element ist
> Selbstinvers)
> Also f(x*y) = e = f(x) * f(y)
>
> Und schwuppdiwupp: f ist ein Automoprhismus
Nein! Erstens verknüpft f (die Abbildung von der oben die Rede ist) x nicht mit seinem Inversen, sondern ordnet ihm sein Inverses zu, d.h. $f(x) = [mm] x^{-1}, \; [/mm] f(x) [mm] \not= x^{-1}x$.
[/mm]
Außerdem kann die von dir beschriebene Abbildung kein Automorphismus sein, sie ist ja bereits nicht injektiv, wenn $f(x) = e = f(y)$ für $x [mm] \not= [/mm] y$. Die Abbildung ist lediglich ein Homomorphismus (und zwar ein ziemlich langweiliger).
LG Lippel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:28 Di 22.02.2011 | | Autor: | ehade |
Ok. Neuer Versuch:
Nach statler ist zu zeigen:
f(x) = f(y) --> x = y
Mit
f(x) = x^-1 und f(y) = y^-1
erhalte ich
x^-1 = y^-1 <-->
1 = 1 <-->
x y
y = x
f(x) = f(y) --> x = y
Geht das so?
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Moin,
> Ok. Neuer Versuch:
> Nach statler ist zu zeigen:
> f(x) = f(y) --> x = y
>
> Mit
> f(x) = x^-1 und f(y) = y^-1
>
> erhalte ich
>
> x^-1 = y^-1 <-->
>
> 1 = 1 <-->
> x y
Was bringt dir diese Äquivalenz (1=1)? Du hast nirgends logisch geschlussfolgert, dass x=y. Was du machen kannst, ist die Eindeutigkeit des inversen Elements zur Begründung heranziehen. Daraus folgt dann die Gleichheit x=y.
>
> y = x
>
>
> f(x) = f(y) --> x = y
>
> Geht das so?
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Mi 12.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Beweise: In zyklischen Gruppen ist die Abbildung f, die
> jedem Element das inverse Element
> zuordnet, ein Automorphismus.
ich wunder mich ein wenig, warum man sich hier ausgerechnet auf zyklische Gruppen beschraenkt. Das gilt doch ebenso bei allgemeinen abelschen Gruppen (und zwar genau dann!). Und der Beweis ist eigentlich auch sehr einfach, man benoetigt nur $(a [mm] b)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1} a^{-1}$ [/mm] und die Kommutativitaet...
LG Felix
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