Automorphismus, Erzeugnis < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Do 27.12.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Warum stimm die Aussage:
Ein Automorphismus von einer zyklischen Gruppe in eine zyklische Gruppe bildet Erzeuger auf Erzeuger ab??
LG |
Hallo,
Ich habe die Aussage in einem skriptum gelesen aber diese kam gar nicht in meiner vorlesung vor. Entweder ist sie so trivial dass es peinlich ist das überhaupt zu fragen oder ich hab es im Skript meines Professor übersehen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Do 27.12.2012 | | Autor: | hippias |
Angenommen $x$ erzeugt die Gruppe $G$ und [mm] $\alpha$ [/mm] ist ein Automorphismus von $G$, was musst Du ueberpruefen, um zu zeigen, dass $y:= [mm] x^{\alpha}$ [/mm] ebenfalls ein Erzeuger von $G$ ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Do 27.12.2012 | | Autor: | sissile |
> $ y:= [mm] x^{\alpha} [/mm] $ ebenfalls ein Erzeuger von $ G $ ist?
x hoch den automorphismus? Ich verstehe nicht wie du das meinst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Do 27.12.2012 | | Autor: | hippias |
Ich meine das Bild von $x$ unter der Abbildung [mm] $\alpha$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 27.12.2012 | | Autor: | sissile |
Eigentlich beweisen wir dann:
EIn automorphismus von einer zyklischen gruppe in diesselbe zyklische Gruppe bildet erzeuger auf erzeuger ab.
Ang <x> = G
[mm] \alpha [/mm] ein Automorphismus
ZZ.: <y := [mm] \alpha [/mm] (x) > = G
Versuch:
<x> = [mm] \{ x^k | k \in \IZ \} [/mm]
[mm] <\alpha [/mm] (x) >= [mm] \{ ((\alpha(x))^k | k \in \IZ \} [/mm] = [mm] \{ (\alpha(x^k) | k \in \IZ \}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Do 27.12.2012 | | Autor: | hippias |
> Eigentlich beweisen wir dann:
> EIn automorphismus von einer zyklischen gruppe in
> diesselbe zyklische Gruppe bildet erzeuger auf erzeuger
> ab.
>
> Ang <x> = G
> [mm]\alpha[/mm] ein Automorphismus
> ZZ.: <y := [mm]\alpha[/mm] (x) > = G
>
> Versuch:
> <x> = [mm]\{ x^k | k \in \IZ \}[/mm]
> [mm]<\alpha[/mm] (x) >= [mm]\{ ((\alpha(x))^k | k \in \IZ \}[/mm] = [mm]\{ (\alpha(x^k) | k \in \IZ \}[/mm]
>
>
Das ist alles richtig. Aus [mm] $<\alpha(x) [/mm] >= [mm] \{ (\alpha(x^k) | k \in \IZ \}$ [/mm] versuche [mm] $<\alpha(x) [/mm] >= G$ zu schlussfolgern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 27.12.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo
$ [mm] <\alpha [/mm] $ (x) >= $ [mm] \{ ((\alpha(x))^k | k \in \IZ \} [/mm] $ = $ [mm] \{ (\alpha(x^k) | k \in \IZ \} [/mm] $ = [mm] \alpha($ \{ x^k | k \in \IZ \} [/mm] )= [mm] \alpha(G)=G
[/mm]
da G surjektiv
oK?
LG
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Hallo sissile,
> Hallo
> [mm] <\alpha[/mm] [/mm] (x) >= [mm] \{ ((\alpha(x))^k | k \in \IZ \}[/mm] [/mm] =
> [mm] \{ (\alpha(x^k) | k \in \IZ \}[/mm] [/mm] = [mm]\alpha($ \{ x^k | k \in \IZ \}[/mm]
> )= [mm]\alpha(G)=G[/mm]
Boah, was für ein Kraut und Rüben-Aufschrieb.
Ein Dollarzeichen am Anfang der Kette, eines am Ende und alles ist wunderbar lesbar!
Aber soweit ich das entziffern kann, sieht das richtig aus.
> da G surjektiv
Oberriesenquatsch oder Tippfehler ...
Was muss da stehen?
>
> oK?
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Do 27.12.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo.
Ja da ist durchs Kopieren was schief gelaufen^^
Nochmal:
[mm] $<\alpha(x)>= \{(\alpha(x))^k|k\in\IZ\}=\{ (\alpha(x^k) | k \in \IZ \}= \alpha(\{x^k|k\in\IZ\})=\alpha(G)=G [/mm] $
Warum Quatsch?
[mm] \alpha(G)=G
[/mm]
Da [mm] \alpha: [/mm] G-> G und das [mm] Img(\alpha)=G [/mm] wegen der Surjektivität von [mm] \alhpa
[/mm]
Wo ist da mein Denkfehler? Ach peinlich, wenn ichs gleich seh...
Edit;Ah! Im letzten post hab ich G statt [mm] \alpha [/mm] geschrieben!;)
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Hallo nochmal,
> Hallo.
> Ja da ist durchs Kopieren was schief gelaufen^^
> Nochmal:
> [mm]<\alpha(x)>= \{(\alpha(x))^k|k\in\IZ\}=\{ (\alpha(x^k) | k \in \IZ \}= \alpha(\{x^k|k\in\IZ\})=\alpha(G)=G[/mm]
>
> Warum Quatsch?
> [mm]\alpha(G)=G[/mm]
> Da [mm]\alpha:[/mm] G-> G und das [mm]Img(\alpha)=G[/mm] wegen der
> Surjektivität von [mm]\alhpa[/mm]
> Wo ist da mein Denkfehler? Ach peinlich, wenn ichs gleich
> seh...
>
> Edit;Ah! Im letzten post hab ich G statt [mm]\alpha[/mm]
> geschrieben!;) ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
Genau das meinte ich 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Do 27.12.2012 | | Autor: | sissile |
Ich hätte noch eine Frage! Ich hab auch in einem anderen SKript gelesen.
Let [mm] \phi \in Aut(\IZ) [/mm] . If n [mm] \in \IZ, [/mm] then n = n · 1 and
[mm] \phi [/mm] (n) = [mm] \phi(n [/mm] · 1) = [mm] n\phi(1)
[/mm]
Also..
[mm] \phi(n)=\phi(n*1)= \phi(1*1*..*1)
[/mm]
Nun verstehe ich den nächsten schritt oben nicht. DIe Gruppen-Homomorphie-eigenschaft gilt ja nur für die Addition, und nicht die Multiplikation.
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Hallo nochmal,
> Ich hätte noch eine Frage! Ich hab auch in einem anderen
> SKript gelesen.
> Let [mm]\phi \in Aut(\IZ)[/mm] . If n [mm]\in \IZ,[/mm] then n = n · 1 and
> [mm]\phi[/mm] (n) = [mm]\phi(n[/mm] · 1) = [mm]n\phi(1)[/mm]
>
>
> Also..
> [mm]\phi(n)=\phi(n*1)= \phi(1*1*..*1)[/mm]
Es ist doch [mm]n\cdot{}1\neq 1\cdot{}1\cdot{1}\cdot{}\ldots\cdot{}1[/mm] (zumindest, wenn [mm] $n\neq [/mm] 1$ ist)
Wie kommst du auf sowas?
[mm]x\cdot{}x\cdot{}x\cdot{}\ldots\cdot{}x=x^n[/mm], wenn da linkerhand n Faktoren stehen ...
> Nun verstehe ich den
> nächsten schritt oben nicht. DIe
> Gruppen-Homomorphie-eigenschaft gilt ja nur für die
> Addition, und nicht die Multiplikation.
Es ist ja [mm]\phi(n\cdot{}1)=\phi(\underbrace{1+1+1+\ldots+1}_{n-mal})=\underbrace{\phi(1)+\phi(1)+\phi(1)+\ldots+\phi(1)}_{n-mal}=n\cdot{}\phi(1)[/mm]
Induktiv die Homomorphieeigenschaft von [mm]\phi[/mm] angewandt ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Do 27.12.2012 | | Autor: | sissile |
Ah ich glaub heute ist kein guter Tag für Mathe^^ ;)
Danke.
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