Automorphismus Orbit < Graphentheorie < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Finde und markiere Automorphismusorbits in folgendem Graphen:
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi!
Orbit ist bei uns so definiert:
Orb(x) = [mm] \{ y \in V(G) | y = f(x) for some f \in AUT(G) \}
[/mm]
Ich würde behaupten es ist:
orb(1) = {1,7} = orb(7)
orb(2) = {2,6} = orb(6)
orb(3) = {3,5} = orb(5)
orb(4) = {4}
stimmt ihr damit überein?
Stimmt es, wenn ich sage, dass zwei Knoten nur gemeinsam in einem Orbit sein können, wenn sie die gleiche Anzahl Kanten berühren?
Danke,
Wimme
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Sa 13.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich würde behaupten es ist:
> orb(1) = {1,7} = orb(7)
> orb(2) = {2,6} = orb(6)
> orb(3) = {3,5} = orb(5)
> orb(4) = {4}
>
> stimmt ihr damit überein?
Ja, aber was ist deine Begründung? Keiner weiß hier, ob du bloß richtign geraten hast!
> Stimmt es, wenn ich sage, dass zwei Knoten nur gemeinsam
> in einem Orbit sein können, wenn sie die gleiche Anzahl
> Kanten berühren?
Ja, das ist notwendig, dass die Knoten in einem Orbit liegen können. Hinreichend nicht, soll heißen: nur weil zwei Knoten die selbe Kantenzahl haben, müssen sie noch lange nicht in einem Orbit liegen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 So 14.02.2010 | | Autor: | Wimme |
hmm..ok, also ich würde das exemplarisch an Orb(1) so begründen:
Folgender Automorphismus bildet die 7 auf die 1 ab:
f(1) = 7'
f(2) = 6'
f(3) = 5'
f(4) = 4'
f(5) = 3'
f(6)= 2'
f(7) = 1'
also ist Orb(1) = {7}
Das die 1 in Orb(1) liegt, ist klar, man nehme einfach die Identität als Automorphismus.
Gut in diesem Beispiel könnte ich jetzt sagen, dass das alles ist, weil es keinen weitern Knoten vom Grad 1 gibt.
Aber wie zeige ich allgemein, dass ich fertig bin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 So 14.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hmm..ok, also ich würde das exemplarisch an Orb(1) so
> begründen:
>
> Folgender Automorphismus bildet die 7 auf die 1 ab:
> f(1) = 7'
> f(2) = 6'
> f(3) = 5'
> f(4) = 4'
> f(5) = 3'
> f(6)= 2'
> f(7) = 1'
>
> also ist Orb(1) = {7}
Du meinst: $7 [mm] \in [/mm] Orb(1)$! Dass keine Gleichheit gilt, folgt ja schon daraus:
> Das die 1 in Orb(1) liegt, ist klar, man nehme einfach die
> Identität als Automorphismus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gut in diesem Beispiel könnte ich jetzt sagen, dass das
> alles ist, weil es keinen weitern Knoten vom Grad 1 gibt.
> Aber wie zeige ich allgemein, dass ich fertig bin?
Indem du zeigst, dass es keine weiteren Automorphismen gibt.
Das kannst du dir hier wie folgt ueberlegen: wenn du das Bild vom Knoten 1 gewaehlt hast (es muss 1 oder 7 sein), ist das Bild von Knoten 2 somit auch festgelegt. Wegen der Anzahl der beruehrenden Kanten sind somit auch die Bilder von 3 und 4 bestimmt. Daraus ist wieder das Bild von 5, 6, 7 bestimmt.
Somit gibt es nur diese zwei Automorphismen, womit die bestimmten Orbiten von dir korrekt sind.
LG Felix
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> Finde und markiere Automorphismusorbits in folgendem
> Graphen:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hi!
>
> Orbit ist bei uns so definiert:
> Orb(x) = [mm]\{ y \in V(G) | y = f(x)\ for\ some\ f \in AUT(G) \}[/mm]
>
> Ich würde behaupten es ist:
> orb(1) = {1,7} = orb(7)
> orb(2) = {2,6} = orb(6)
> orb(3) = {3,5} = orb(5)
> orb(4) = {4}
>
> stimmt ihr damit überein?
> Stimmt es, wenn ich sage, dass zwei Knoten nur gemeinsam
> in einem Orbit sein können, wenn sie die gleiche Anzahl
> Kanten berühren?
>
> Danke,
> Wimme
Hi Wimme,
mir ist der Begriff "Automorphismusorbit" zwar absolut
neu, aber deine Lösung scheint mir plausibel. AUT(G)
besteht ja hier offensichtlich nur aus zwei Elementen,
nämlich der Identität und der Spiegelung an der verti-
kalen Mittelachse. Auch deine Bedingung trifft zu -
nur muss man sich bewusst sein, dass dies nur eine
notwendige (aber im Allgemeinen nicht hinreichende)
Bedingung ist.
LG Al-Chw.
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